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Distancia de un plano y de una curva al origen

Enunciado Usando técnicas de cálculo diferencial, Calcular la mínima distancia del plano $\alpha:2x-y+2z=2$ al origen y el punto en el que dicha distancia mínima se obtiene. Calcular la mínima distancia del conjunto $$A= \{ (x,y,z): x^2+y^2=1,\; x+y+z=1 \} $$ al … Sigue leyendo

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Una curva no rectificable

Proponemos un ejemplo de curva no rectificable. Enunciado Se considera la curva del plano $$\Gamma:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=t\quad\text{si}\quad0\le t\le1\\& y=\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & t\cos \frac{1}{t}\quad \text{si}\quad0<t\le 1\\& 0\quad \text{si}\quad t=0.\end{aligned}\end{matrix}\right. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Demostrar que no es rectificable. Sugerencia: … Sigue leyendo

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Una curva plana

Enunciado Averiguar si es plana la curva de ecuaciones paramétricas $x=t,\;y=\dfrac{t^2+t+2}{t},\;z=\dfrac{-t^2-t+3}{t}\quad (t>0).$ En caso afirmativo, hallar la ecuación cartesiana del plano que la contiene. (Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución La curva es plana si … Sigue leyendo

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Integral $ \int_{T}\bar{z}^2\;dz$ sobre una curva de Jordan

Calculamos la integral de una función sobre el borde de un triángulo y generalizamos a una curva de Jordan. Enunciado Sean $a,b$ y $c$ tres puntos no alineados del plano complejo. Calcular la integral $$\displaystyle\int_{T}\bar{z}^2\;dz,$$ siendo $T$ el borde del … Sigue leyendo

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