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Archivo de la etiqueta: derivación
Derivación de integrales dependientes de un parámetro
Demostramos los teoremas de derivación de integrales dependientes de un parámetro (tanto con límites de integración constantes como variables) y proporcionamos ejemplos de aplicación. Definición. Sean $[a,b]$ y $[\alpha,\beta]$ dos intervalos reales y $$f:[a,b]\times [\alpha,\beta]\to \mathbb{R},\quad (x,\lambda) \to f(x,\lambda)$$ una … Sigue leyendo
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Derivación paramétrica y límite
Enunciado 1. Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{x^2+t^2}\quad (x>0).$ 2. Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{(x^2+t^2)^{n+1}}.$ Indicación: derivar la integral respecto de un parámetro y razonar por inducción. 3. Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^n}.$ 4. Como aplicación de lo anterior, calcular el límite: $$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot (2n-3)}{2\cdot 4\cdot\ldots\cdot (2n-2)}\cdot \sqrt{n}.$$ … Sigue leyendo
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Suma de series enteras por derivación o integración
Proporcionamos ejemplos de cálculo de la suma de series enteras usando la derivación o integración término a término. Enunciado Valiéndose de la derivación o integración término a término y de la serie geométrica, hallar la suma de las series enteras: … Sigue leyendo
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Derivación e integración de series enteras
Enunciado Sea $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$ una serie entera con radio de convergencia $R.$ Demostrar que si $\rho\in [0,R),$ la serie converge uniformemente en el intervalo $[-\rho,\rho].$ Demostrar que toda serie entera y su serie derivada tienen el mismo radio de convergencia. Sea … Sigue leyendo
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Una integral por derivación paramétrica (2)
Enunciado Calcular $\displaystyle\int_0^{\pi}\dfrac{1}{(5-3\cos x)^3}\;dx$. Sugerencia: Para adecuados valores de $\lambda$ considérese: $I(\lambda)=\displaystyle\int_0^{\pi}\dfrac{1}{\lambda-3\cos x}\;dx$ Solución Consideremos $D=[0,\pi]\times (3,+\infty)$ y la función $f:D\to \mathbb{R},\quad f(x,\lambda)=\dfrac{1}{\lambda -3 \cos x}.$ Claramente $\lambda -3\cos x\neq 0$ para todo $(x,\lambda)\in D$ y $f\in \mathcal{C}^{\infty}(D)$. Por otra … Sigue leyendo
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