Archivo de la etiqueta: derivación

Núcleo e imagen del operador derivación

Calculamos el núcleo e imagen del operador derivación en el espacio $\mathbb{R}_n[x].$ Enunciado Se considera la aplicación $f:\mathbb{R}_n[x]\to \mathbb{R}_n[x]$ tal que $f[p(x)]=p'(x).$ Se pide: Demostrar que es lineal. Hallar la matriz de $f$ respecto de la base canónica $B=\{1,x,x^2,\ldots,x^n\}.$ Ecuaciones … Sigue leyendo

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Una integral por derivación paramétrica (1)

Enunciado Usando derivación paramétrica, calcular la integral $$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{\arctan (\sin x)}{\sin x}\;dx.$$ Solución En $[0,\pi/2]$ el denominador se anula sólo para $x=0$. Por otra parte para todo $\lambda\in\mathbb{R}$ $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\arctan(\lambda \sin x)}{\sin x}=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\lambda \sin x}{\sin x}=\lambda,$ por tanto la siguiente … Sigue leyendo

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Derivación de funciones implícitas

Proporcionamos ejercicios sobre derivación de funciones implícitas. Enunciado Hallar $y’$ para la función implícita dada por $x\operatorname{sen}y+y\operatorname{sen}x=0.$ Hallar la ecuación de la recta tangente a la hipérbola $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{8}=1$ trazada en el punto $P(-9,-8).$ Hallar $y’$ para la función $y$ dada … Sigue leyendo

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Forma canónica del operador derivación

Determinamos la forma canónica del operador derivación y una correspondiente matriz de paso. Enunciado Sea $V$ el espacio vectorial real formado por los polinomios $q(x)$ de grado menor o igual que $n$, respecto de las operaciones usuales. Se considera la … Sigue leyendo

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Derivación de funciones compuestas, regla de la cadena

Proporcionamos ejercicios sobre la derivación de funciones compuestas y la regla de la cadena. Enunciado Calcular $y’$ siendo: $(a)\; y=(x^3+5x^2+1)^8.\quad$ $(b)\; y=\operatorname{tg}^7x.\quad $ $(c)\;y=\arctan (\log x).$ Calcular $f'(x)$ siendo: $(a)\; f(x)=3^{\cos x}.\quad $ $(b)\; f(x)=\left(\dfrac{1+\log x}{1-\log x}\right)^4.\quad $ $(c)\;f(x)=\sqrt[3]{(x+\operatorname{sen}x)^2}.$ Si … Sigue leyendo

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