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Cotas para la derivada aritmética natural

Derivada aritmética (menú) Proporcionamos cotas para la derivada aritmética natural. Enunciado Demostrar que para todo entero positivo $n$ se verifica $n^{\prime}\le \dfrac{n\log_2n}{2}.$ Demostrar que si $n=2^k$ la cota es exacta Demostrar que si $n$ es el producto de $k$ factores, … Sigue leyendo

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Derivada aritmética en dominios de factorización única

Derivada aritmética (menú) Extendemos la definición de derivada aritmética a dominios de factorización única. Enunciado Sea $D$ un dominio de factorización única y elijamos en $D$ los elementos irreducibles que son «positivos», es decir elijamos un conjunto $\mathcal{P}$ de elementos … Sigue leyendo

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Derivada aritmética racional

Derivada aritmética (menú) Definimos la derivada aritméica racional y demostramos que generaliza a la entera. Enunciado Demostrar que la función $(a/b)^\prime :\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ definida mediante $$\left(\frac{a}{b}\right)^\prime:=\frac{a^\prime b-b^\prime a}{b^2},$$ es una extensión de la derivada aritmética en $\mathbb{Z}$ y cumple la … Sigue leyendo

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Derivada aritmética entera

Derivada aritmética (menú) Definimos la derivada aritmética entera y demostramos que generaliza a la definida en los naturales. Enunciado Se llama función derivada aritmética en los enteros $\mathbb{Z}$ a la función $n^{\prime}:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ dada por $(1)\;$ $0^{\prime}=1^{\prime}=(-1)^{\prime}=:0$. $(2)\;$ Si $n=up_1p_2\cdots … Sigue leyendo

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Propiedades de la derivada aritmética natural

Derivada aritmética (menú) Demostramos algunas propiedades de la derivada aritmética natural. Enunciado Demostrar que para $k,n$ enteros positivos se verifica $(n^k)^\prime= kn^{k-1}n^\prime.$ Demostrar la fórmula de Leibniz para la derivada $k$-ésima del producto de dos números: $(ab)^{(k)}=\sum_{i=0}^k\binom{k}{i} a^{(k-i)} b^{(i)}.$ Demostrar … Sigue leyendo

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