Archivo de la etiqueta: desigualdad

Desigualdad de Bessel

RESUMEN. Demostramos la desigualdad de Bessel en espacios prehilbertianos. Teorema (Desigualdad de Bessel) Sea $E$ un espacio prehilbertiano y $\{x_1,x_2,x_3,\ldots \}\subset E$ un sistema ortonormal. Entonces, para todo $x\in E$ se verifica $$\sum_{k=1}^{+\infty}|\langle x,x_k\rangle|^2\le \|x\|^2.$$ Demostración Sea $n > 0 … Sigue leyendo

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Desigualdad de Jensen

Usamos la desigualdad de Jensen para demostrar que la media geométrica es menor o igual que la aritmética. Enunciado El teorema de la desigualdad de Jensen, se expresa en los siguientes términos: Sea $(\Omega, \mathscr{M},\mu)$ un espacio de medida con … Sigue leyendo

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Desigualdad de Schwarz y norma en los espacios prehilbertianos

Demostramos la desigualdad de Schwarz en espacios prehilbertianos y las propiedades de la norma. Enunciado Sea $P$ un espacio prehilbertiano, es decir un espacio vectorial complejo con producto escalar. Para todo $x\in P$ se define la norma (o longitud) de … Sigue leyendo

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Mínimo de $\scriptstyle L(f)=\int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}$ mediante la desigualdad de Schwarz

Enunciado Utilizando la desigualdad de Schwarz, demostrar que si  $f(x)$ es continua y positiva para $a\le x\le b,$ el producto $$L(f)=\int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}$$ es mínimo si y sólamente si $f$ es una función constante. Solución El espacio  $E=\mathcal{C}[a,b]$ de las funciones … Sigue leyendo

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Desigualdad de Schwarz, ángulos

Demostramos la desigualdad de Schwarz en los espacios euclideos, que permite definir el concepto de ángulo y demostrar las propiedades de la norma. Enunciado En el espacio vectorial de las funciones reales de clase 2 en el intervalo $[-1,1]$ se … Sigue leyendo

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Desigualdad de Bernoulli

Demostramos por inducción la desigualdad de Bernoulli. Enunciado Demostrar por inducción que para cualquier número real $x\geq -1$ y para todo entero $n\geq 1$ se verifica $(1+x)^n\geq 1+nx.$ (Desigualdad de Bernoulli). Solución Paso base. Para $n=1$, el primer miembro es … Sigue leyendo

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Desigualdad y número de raíces

Relacionamos una desigualdad con el número de ceros de una función. Enunciado Demostrar la desigualdad: $$\dfrac{1}{e}\geq \dfrac{\log x}{x}\;,\quad \forall{x>0}.$$ Hallar razonadamente el número exacto de soluciones de la ecuación$$e(\log x)^2=2x.$$ (Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM). … Sigue leyendo

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