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Archivo de la etiqueta: desigualdad
Desigualdad de Bessel
RESUMEN. Demostramos la desigualdad de Bessel en espacios prehilbertianos. Teorema (Desigualdad de Bessel) Sea $E$ un espacio prehilbertiano y $\{x_1,x_2,x_3,\ldots \}\subset E$ un sistema ortonormal. Entonces, para todo $x\in E$ se verifica $$\sum_{k=1}^{+\infty}|\langle x,x_k\rangle|^2\le \|x\|^2.$$ Demostración Sea $n > 0 … Sigue leyendo
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Desigualdad de Jensen
Usamos la desigualdad de Jensen para demostrar que la media geométrica es menor o igual que la aritmética. Enunciado El teorema de la desigualdad de Jensen, se expresa en los siguientes términos: Sea $(\Omega, \mathscr{M},\mu)$ un espacio de medida con … Sigue leyendo
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Desigualdad de Schwarz y norma en los espacios prehilbertianos
Demostramos la desigualdad de Schwarz en espacios prehilbertianos y las propiedades de la norma. Enunciado Sea $P$ un espacio prehilbertiano, es decir un espacio vectorial complejo con producto escalar. Para todo $x\in P$ se define la norma (o longitud) de … Sigue leyendo
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Mínimo de $\scriptstyle L(f)=\int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}$ mediante la desigualdad de Schwarz
Enunciado Utilizando la desigualdad de Schwarz, demostrar que si $f(x)$ es continua y positiva para $a\le x\le b,$ el producto $$L(f)=\int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}$$ es mínimo si y sólamente si $f$ es una función constante. Solución El espacio $E=\mathcal{C}[a,b]$ de las funciones … Sigue leyendo
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Desigualdad de Schwarz, ángulos
Demostramos la desigualdad de Schwarz en los espacios euclideos, que permite definir el concepto de ángulo y demostrar las propiedades de la norma. Enunciado En el espacio vectorial de las funciones reales de clase 2 en el intervalo $[-1,1]$ se … Sigue leyendo
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