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Valores propios y determinante de una matriz circulante

RESUMEN. Calculamos los valores propios, vectores propios y el determinante de una matriz circulante genérica. Enunciado Recordamos que una matriz circulante es una matriz de la forma $$A=\begin{bmatrix} a_0 & a_1 & \dots & a_{n-2} &a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_0 … Sigue leyendo

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Determinante de una matriz solución de un sistema diferencial homogéneo

Demostramos una fórmula para el determinante de una matriz solución de un sistema diferencial homogéneo Enunciado Sea el sistema diferencial lineal homogéneo de orden $n$ $$X’=A(t)X.\qquad (H)$$ en donde $A(t)=[a_{ij}(t)],$ $I=[a,b]$ es un intervalo cerrado de la recta real, y … Sigue leyendo

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Derivada de un determinante

Demostramos una fórmula para la derivada de un determinante y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Sea $I$ un intervalo de la recta real. Se considera la matriz de orden $n:$ $$A(t)=\left[F_1(t),F_2(t),\ldots, F_n(t)\right]$$ en donde $$F_i(t)=\begin{pmatrix}f_{1j}(t)\\{f_{2j}(t)}\\ \vdots\\{f_{nj}(t)}\end{pmatrix}\;\;\forall t\in I\text{ con … Sigue leyendo

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$Q(A) = (\text{traza } A)^2 – 2 \det A$

En este problema diagonalizamos  una forma cuadrática en $M_2(\mathbb{R})$ definida mediante la traza y el determinante. Enunciado En el espacio vectorial $M_2(\mathbb{R})$ se considera el producto escalar $$\langle \begin{bmatrix}{x_1}&{x_2}\\{x_3}&{x_4}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}{y_1}&{y_2}\\{y_3}&{y_4}\end{bmatrix}\rangle=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4.$$ Se define la aplicación $Q:M_2(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ dada por $$Q(A)=\left(\text{traza }A\right)^2-2\det A.$$ … Sigue leyendo

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Determinante de I + v w

Enunciado Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo, $v\in\mathbb{K}^{n\times 1}$ y $v\in\mathbb{K}^{1\times n}.$ Demostrar que $$\det \left(I_n+vw\right)=1+wv.$$ Solución.  Es fácil verificar la igualdad para matrices de órdenes $n+1,$ $$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ v & I_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -w\\ 0 & I_n + … Sigue leyendo

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