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Determinante y sucesión de Fibonacci
Relacionamos un determinante con la sucesión de Fibonacci. Enunciado Sea $1,2,3,5,8,13,\ldots$ la sucesión de Fibonacci y consideremos la matriz: $$A_n=\begin{bmatrix}{\;\;1}&{\;\;1}&{0}&{0}&{\ldots}&{\;\;0}&{0}\\{-1}&{\;\;1}&{1}&{0}&{\ldots}&{\;\;0}&{0}\\{\;\;0}&{-1}&{1}&{1}&{\ldots}&{\;\;0}&{0}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}\\{\;\;0}&{\;\;0}&{0}&{0}&{\ldots}&{-1}&{1}\end{bmatrix}.$$ Probar que $\det A_n$ coincide con el termino enésimo de la sucesión. Solución La sucesión de Fibonacci $\{x_n\}$ está determinada … Sigue leyendo
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Determinante por inducción y sistema lineal
Calculamos un eterminante de orden $n$ por inducción, y lo aplicamos a la discusión de un sistema lineal. Enunciado Para cada $n\in\mathbb{N}^*$ y para cada par $a,b\in\mathbb{C}$ se considera la matriz $A_n(a)=\begin{bmatrix} 1+a & 1 & 0 & \ldots & … Sigue leyendo
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Determinante e inversa de orden n
Calculamos un determinante y una inversa de orden $n.$ Enunciado Se considera la matriz $M_n= \begin{bmatrix} a_1+a_2 & -a_2 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ -a_2 & a_2+a_3 & -a_3 & 0 & \ldots … Sigue leyendo
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Un determinante por recurrencia
Calculamos un determinante por recurrencia usando la teoria de valores y vectores propios. Enunciado Sea $n\in{\mathbb{N}^*},\;A_n\in\mathbb{R}^{n\times n}$ y $D_n=|A_n|$. En todo lo que sigue supondremos la existencia de $p,q\in \mathbb{R}$ tales que si $n> 2$, $D_n=pD_{n-1}+qD_{n-2}$. Se pide: 1. Si … Sigue leyendo
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Determinante de Vandermonde
Proporcionamos ejercicios sobre el determinante de Vandermonde. Enunciado Resolver la ecuación $\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & x & 3 & -1 \\ 4 & x^2 & 9 & 1 \\ 8 & x^3 & 27 … Sigue leyendo
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