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Acotación por $e^{\alpha t}$ de las soluciones de un sistema diferencial

Proporcionamos una acotación para las soluciones de un sistema diferencial. Enunciado Sea  $A \in\mathbb{R}^{n\times n}$ , con $n$ valores propios distintos y la parte real de cada valor propio $\lambda$ es menor que algún número negativo $\alpha$. Demuestre que para … Sigue leyendo

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Teorema de existencia y unicidad de soluciones de una ecuación diferencial

Proporcionamos dos ejemplos de aplicación de un teorema de existencia y unicidad de soluciones de una ecuación diferencial. Enunciado Se considera el siguiente teorema de existencia y unicidad de las soluciones de una ecuación diferencial: Teorema. Sea $D\subset \mathbb{R}^2$ un … Sigue leyendo

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Ecuación diferencial por serie de potencias

Proporcionamos un ejemplo de resolución de una ecuación diferencial por serie de potencias. Enunciado Se considera la ecuación diferencial $y^{\prime\prime}(x)+y(x)=x.$ Sea $y(x)$ solución de la ecuación que se puede expresar como suma de una serie entera convergente en $\mathbb{R}.$ Determinar … Sigue leyendo

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Diferencial de una composición

Enunciado Se consideran las funciones $f$ y $g$ definidas por $$f(u,v)=\left(\displaystyle\int_1^{u+v}\sin^8t\;dt,\displaystyle\int_1^{u-v}\cos^6t\;dt,\displaystyle\int_1^{3u-2v}\cos^3t\;dt\right),$$$$ g(x,y,z)=\left(\dfrac{x}{y}\sin z,\;1+\dfrac{y}{z}\cos z\right).$$ Calcular razonadamente $Dg(1,-1,0)$ y $D(f\circ g)(1,-1,0).$ (Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución Las funciones componentes de $g$ son: $g_1(x,y,z)=\dfrac{x}{y}\sin z\;,\quad g_2(x,y,z)=1+\dfrac{y}{z}\cos … Sigue leyendo

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Puntos atraídos por el origen en un sistema diferencial

Enunciado Determinar los puntos $M(a,b,c)$ que son atraídos por el origen (cuanto $t\to +\infty$) en el sistema diferencial $X’=AX.$ $A=\begin{bmatrix}{0}&{2}&{3}\\{2}&{1}&{2}\\{3}&{2}&{0}\end{bmatrix}\;.$ (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución Hallemos los valores propios de $A.$ Restando a … Sigue leyendo

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