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Todo subespacio de dimensión finita es cerrado

RESUMEN. Demostramos que todo subespacio de un espacio normado de dimensión finita es cerrado Enunciado Sea $E$ un espacio normado y $F$ un subespacio de $E$ de dimensión finita. Demostrar que $F$ es cerrado. Solución Sea $x\in\overline{F}$ y sea $(x_n)$ … Sigue leyendo

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Todo espacio normado de dimensión finita es de Banach

RESUMEN. Demostramos que todo espacio normado de dimensión finita es de Banach. Enunciado Demostrar que todo espacio normado de dimensión finita es de Banach Solución Sea $(E,\|\;\|)$ espacio normado de dimensión finita $N$ sobre $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ y sea $B=\{e_1,\ldots,e_N\}$ … Sigue leyendo

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Espacios normados de dimensión finita

En el siguiente problema demostramos propiedades de los espacios normados de dimensión finita. Enunciado 1.  Demostrar que todos los espacios normados $\left(E,\left\|\;\right\|_E\right)$ de dimensión finita dada $n$ sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K=\mathbb{R}}$ o $\mathbb{K=\mathbb{C}}$), son homeomorfos. 2.  Sean $E$ y … Sigue leyendo

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Teorema de la dimensión para espacios vectoriales

Demostramos el teorema de la dimensión para espacios vectoriales. Enunciado Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}.$  Demostrar que todas las bases de $E$ tienen el mismo cardinal. Solución Demostraremos previamente el siguiente lema: LEMA. Sea $E$ espacio vectorial … Sigue leyendo

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Propiedades de la dimensión

En los siguientes ejercicos aplicamos propiedades de la dimensión. Enunciado Demostrar que los siguientes vectores forman base de $\mathbb{R}^4$ $$(2,1,0,1),\;(0,1,2,2),\;(-2,1,1,2),\;(1,3,1,2).$$ Sean $E_1$ y $E_2$ subespacios de $E$ tales que $\dim E_1=4,$ $\dim E_2=5$ y $\dim E=7.$ Se pide hallar la … Sigue leyendo

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