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Archivo de la etiqueta: doble
Integral doble impropia con parámetros
Enunciado Estudiar en función de los valores reales de $\alpha$ y $\beta$ la convergencia de la integral impropia $\displaystyle\iint_{x,y\geq 0} \dfrac{dxdy}{1+x^{\alpha}+y^{\beta}}.$ Cuando resulte convergente, expresar su valor en términos de la función gamma de Euler. Sugerencia: Hacer el cambio de … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado doble, impropia, integral, parámetros
Comentarios desactivados en Integral doble impropia con parámetros
Integral doble como producto de simples
Enunciado Sea $f$ una función continua real de variable real. Expresar la integral $\displaystyle\int_{a}^{b}\left(\displaystyle\int_{x}^{b}f(x)f(y)\;dy\right)dx$ en términos de la integral $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;dx.$ Como aplicación calcular la integral doble: $\displaystyle\iint_{M}\displaystyle\frac{xy}{(4+x^2)(4+y^2)}\;dxdy$ siendo $M=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x\leq y\leq \sqrt{2},\;0\leq x\leq \sqrt{2}\}.$ (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado doble, integral, producto, simples
Comentarios desactivados en Integral doble como producto de simples
Integral doble impropia por un cambio ortogonal
Enunciado Calcular $$I(a,b)=\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(ax^2+2bxy+cy^2)}\;dxdy\quad(a>0\;,\;ac-b^2>0).$$ (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM). Solución Consideremos la forma cuadrática $q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2=(x,y)\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{b}&{c}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}.$ De las condiciones $a>0,ac-b^2>0$ deducimos que $q$ es definida positiva. Como consecuencia del teorema espectral, existe una matriz $P$ ortogonal tal … Sigue leyendo
