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Archivo de la etiqueta: e
El número e es trascendente
Demostramos que el número $e$ es trascendente. Teorema Demostrar que el número real $e$ es trascendente sobre $\mathbb{Q}$, es decir que no existe $p\in\mathbb{Q}[x]$ no nulo tal que $p(e)=0$. Demostración Sea $f\in\mathbb{R}[x]$ de grado $r$ y sea $$F(x)=f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime\prime}(x)+\cdots+f^{(r)}(x).$$ Hallemos la … Sigue leyendo
Publicado en Miscelánea matemática
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Número e y exponencial de una matriz
Se define la exponencial de una matriz como generalización de la exponencial real. Enunciado En la Enseñanza Media se define el número $e$ como el límite: $\displaystyle\lim_{m \to \infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^m,$ y de manera más general resulta ser $e^a=\displaystyle\lim_{m \to \infty}\left(1+\frac{1}{m}a\right)^m,$ donde … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
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El número e es irracional
En este problema se demuestra la irracionalidad del número e. Enunciado Se sabe que número $e$ de Euler se define como el límite: $$e=\displaystyle\lim_{n\to{+}\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n,$$ y que dicho número se puede expresar como la suma de una serie: $$e=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\ldots=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{k!}.\qquad (*)$$ … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
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