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Archivo de la etiqueta: ecuación
Ecuación funcional $f(x+y)=f(x)f(y)$
Enunciados Se considera la ecuación funcional $$f:\mathbb R\to \mathbb R,\; f(x+y)=f(x)f(y)\qquad (E)$$ Demostrar que la función idénticamente nula es solución de $(E)$. Consideremos en lo sucesivo que $f$ es solución no idénticamente nula de la ecuación funcional $(E).$ Demostrar que … Sigue leyendo
Publicado en Miscelánea matemática
Etiquetado $f(x+y=f(x)f(y)$, ecuación, funcional
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Ecuación funcional de Cauchy
RESUMEN. Estudiamos la ecuación funcional de Cauchy. Enunciados Se dice que una función $f:\mathbb R\to \mathbb R$ cumple la ecuación de Cauchy si satisface la ecuación funcional $$f(x+y)=f(x)+f(y),\;\forall x,y\in\mathbb R.$$ Demostrar que si $c\in\mathbb R$ la función $f:\mathbb R\to \mathbb … Sigue leyendo
Publicado en Miscelánea matemática
Etiquetado Cauchy, ecuación, funcional
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Ecuación $x^3-x+2=0$ en los complejos
Enunciado Resolver en $\mathbb{C}$ la ecuación $x^3-x+2=0.$ Solución Es ecuación del tipo $x^3+px+q=0\text{ con } p,q\in\mathbb{C}$ cuyas soluciones sabemos que son $$x=\underbrace{\sqrt [3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}_{\alpha}+\underbrace{\sqrt [3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}_{\beta}$$ siempre y cuaando $\alpha\beta=-p/3.$ En nuestro caso $p=-1, q=2$ con lo cual $$x=\displaystyle\underbrace{\sqrt [3]{-1+\sqrt{\frac{26}{27}}}}_{\alpha}+\underbrace{\sqrt [3]{-1-\sqrt{\frac{26}{27}}}}_{\beta}.$$ Eligiendo … Sigue leyendo
Edo $y^{\prime\prime}=x(y^\prime)^3$
RESUMEN. Resolvemos una ecuación diferencial de segundo orden. Enunciado Resolver la ecuación diferencial de segundo orden $y^{\prime\prime}=x(y^\prime)^3.$ Solución Denotando $p=y^\prime$ queda $p^\prime=xp^3$ o bien $dp/dx=xp^3$ o bien $dp/p^3=xdx$, ecuación de variables separadas. Integrando $$\int \frac{dp}{p^3}=\int xdx,\quad -\frac{1}{p^2}=\frac{x^2}{2}+C,$$ $$-\frac{1}{p^2}=x^2+C,\quad p^2=\frac{1}{-x^2-C},$$ $$p=\frac{1}{\sqrt{C_1-x^2}},\quad … Sigue leyendo
Publicado en Ecuaciones diferenciales
Etiquetado diferencial, ecuación, orden, segundo
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Ecuación en diferencias completa
RESUMEN. Proporcionamos un método para la resolución de la ecuación en diferencias completa. Recordamos que una ecuación en diferencias lineal de orden $k$ con coeficientes constantes es una expresión de la forma $$x_{n+k}+a_1x_{n+k-1}+\ldots +a_{k-1}x_{n+1}+a_kx_n=b(n)$$ en donde $a_1,a_2,\ldots,a_k$ son números reales … Sigue leyendo
Publicado en Ecuaciones diferenciales
Etiquetado completa, diferencias, ecuación
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