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Ecuación de Legendre

Estudiamos la ecuación de Legendre. Enunciado Se llama ecuación de Legendre a la ecuación diferencial $$(1-x^2)y^{\prime\prime}-2xy^\prime +\alpha(\alpha+1)y=0\qquad (L)$$ con $\alpha$ real. Demostrar que la ecuación de Legendre se puede escribir en la forma $$\left((x^2-1)y^\prime\right)^\prime=\alpha (\alpha+1)y.$$ Demostrar que la ecuación de … Sigue leyendo

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Ecuación diofántica lineal en dos incógnitas

Estudiamos la compatibilidad de la ecuación diofántica lineal en dos incógnitas y proporcionamos la manera de hallar su solución general. Enunciado Una ecuación diofántica lineal en dos incógnitas es una ecuación de la $$ax+by=c,\quad (a,b,c\in\mathbb{Z},a\ne 0,b\ne 0).\qquad (E)$$ Se llama … Sigue leyendo

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La ecuación diferencial aritmética $n^\prime=n$

Derivada aritmética (menú) Resolvemos la ecuación diferencial aritmética $n^\prime=n$. Para ello, demostramos propiedades previas. Enunciado Demostrar que si $n=p^pm$ con $p$ primo y $m > 1$ natural, entonces $n^\prime=p^p(m+m^\prime)$ y $\lim_{k\to \infty}n^{(k)}=\infty.$ Sea $n$ número natural y $p^k$ la mayor … Sigue leyendo

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Máquina quitanieves

Planteamos y resolvemos una ecuación diferencial asociada al movimiento de una máquina quitanieves. Enunciado Una máquina quitanieves desplaza un volumen de $V$ $(\text{m}^3/\text{ hora}),$ barriendo una anchura $a$ (m) de la carretera. Su velocidad cuando avanza por la carretera varía … Sigue leyendo

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Teorema de existencia y unicidad de soluciones de una ecuación diferencial

Proporcionamos dos ejemplos de aplicación de un teorema de existencia y unicidad de soluciones de una ecuación diferencial. Enunciado Se considera el siguiente teorema de existencia y unicidad de las soluciones de una ecuación diferencial: Teorema. Sea $D\subset \mathbb{R}^2$ un … Sigue leyendo

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