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Archivo de la etiqueta: elipse
Extremos de $f(x,y)=x^3+y^3$ sobre una elipse
Enunciado Determinar los extremos de la función $$f(x,y)=x^3+y^3$$ sobre la elipse $$E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x^2+y^2+ x+y=xy\}$$ Solución Veremos tres métodos distintos. Método 1. Multiplicadores de Lagrange Podemos escribir $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$. En consecuencia en $E$ se verifica $f(x,y)=(x+y)(-x-y)=-(x+y)^2.$ Se trata pues de hallar los … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado elipse, extremos, x^3+y^3
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Elipse como lugar geométrico
RESUMEN. Determinamos la ecuación de una elipse aplicando su definición como lugar geométrico. Enunciado Determinar la ecuación de la elipse con focos en $F_1(0,-4)$, $F_2(2,0)$ y un vértice $A(3,-3).$ Solución El punto $P(x,y)$ pertenece a la elipse pedida si y … Sigue leyendo
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Dos parametrizaciones de la elipse
Proporcionamos dos parametrizaciones de la elipse, una trigonométrica y otra racional. Enunciado Se considera la elipse $$E=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\},\quad (a>0,b>0).$$ Demostrar que $$E=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x=a\cos \theta,\;y=b\sin \theta,\quad \theta \in [-\pi,\pi)\},$$ lo cual proporciona una parametrización trigonométrica de la elipse. Demostrar que $$E\setminus\{(-a,0)\}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: … Sigue leyendo
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Cotas de la longitud de una elipse
El objeto de este problema es encontrar cotas de la longitud de una elipse. Enunciado Demostrar que el cálculo de la longitud de una elipse se reduce al cálculo de la integral $$\int_0^{\pi/2}\sqrt{1+k^2\text{sen}^2\theta}\;d\theta.$$ Verificar que la integral del apartado anterior … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
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Estabilidad en el interior de una elipse
Estudiamos la estabilidad de los puntos de equilibrio de un sistema autónomo cuyo plano de fases es una elipse. Enunciado Especificar y representar el espacio de fases del sistema diferencial $$\begin{aligned} &x’=x^2-y\\ &y’=\log (6-2x^2-3y^2). \end{aligned}$$ Estudiar la estabilidad de los … Sigue leyendo
Publicado en Ecuaciones diferenciales
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