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Sistema autónomo con paso a esféricas

Enunciado Resolver el sistema diferencial autónomo $\left \{ \begin{matrix}x’=-xz\\y’=-yz\\z’=x^2+y^2.\end{matrix}\right.$ Indicación: pasar a coordenadas esféricas. (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución De las relaciones $$\rho^2=x^2+y^2+z^2,\quad\theta=\arctan(y/x),\quad \varphi=\arctan (z/\sqrt{x^2+y^2})$$ deducimos $2\rho\rho’=2xx’+2yy’+2zz’\Leftrightarrow \rho\rho’=xx’+2yy’+zz’$ $\theta’=\dfrac{1}{1+\dfrac{y^2}{x^2}}\dfrac{y’x-x’y}{y^2}=\dfrac{y’x-x’y}{x^2+y^2}$ $\varphi’=\dfrac{1}{1+\dfrac{z^2}{x^2+y^2}}\dfrac{z’\sqrt{x^2+y^2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}(2xx’+2yy’)z}{x^2+y^2}$ $=\dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{z'(x^2+y^2)-z(xx’+yy’)}{\sqrt{x^2+y^2}}.$ Sustituyendo las … Sigue leyendo

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