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Archivo de la etiqueta: euclideo
Ortogonalidad en el espacio euclídeo
Proporcionamos ejercicios sobre ortogonalidad en el espacio euclídeo. Enunciado En el espacio vectorial $\mathbb{R}_2[x]$ se considera el producto escalar $$\left<p(x),q(x)\right>=\int_{-1}^1\left(p(x)q(x)+p^{\prime\prime}(x)q^{\prime\prime}(x)\right)dx.$$ Comprobar que los vectores $p(x)=1+4x+x^2$ y $q(x)=1-x$ son ortogonales. Sea $E$ un espacio euclídeo. Demostrar que $a)\;$ El vector $0$ … Sigue leyendo
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Etiquetado espacio, euclideo, ortogonalidad
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Espacio euclideo, norma
Definimos la norma en un espacio euclídeo y proponemos ejercicios de aplicación. Enunciado En el espacio euclídeo $\mathbb{R}_2[x]$ dotado del producto escalar $$\left<p(x),q(x)\right>=\int_0^1p(x)q(x)\;dx,$$ determinar la norma del vector $p(x)=-1+2x+3x^2.$ En el espacio euclídeo $\mathbb{R}_2[x]$ dotado del producto escalar $$\left<p(x),q(x)\right>=\sum_{i=0}^2p(i)q(i),$$ determinar … Sigue leyendo
Signatura de una forma cuadrática en un espacio euclídeo
Determinamos la signatura de una forma cuadrática en un espacio euclídeo $n$-dimensional. Enunciado Sea $E$ un espacio vectorial real euclídeo de dimensión $n$ y sea $u\in E$ un vector de norma $1$ $(\left\|{u}\right\|=1).$ Para cada número real $a$ se define … Sigue leyendo
Automorfismo en un espacio euclídeo
Estudiamos un automorfismo en un espacio euclídeo. Enunciado Sea $E$ espacio vectorial euclídeo de dimensión $n$ y $H\subset E$ subespacio. 1. Probar que existe un único automorfismo $f$ en $E$ cumpliendo $\left \{ \begin{matrix} f(x)=x \quad \forall x\in H\\ f(x)=-x\quad … Sigue leyendo
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Etiquetado automorfismo, espacio, euclideo
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Dominio de integridad no euclídeo
Proporcionamos un ejemplo de dominio de integridad que no es euclídeo. Enunciado Demostrar que $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]=\{a+b\sqrt{5}i:a,b\in\mathbb{Z}\}$ es dominio de integridad con las operaciones habituales suma y producto de complejos. Hallar el conjunto $\mathcal{U}$ de las unidades de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$. Demostrar que $6$ … Sigue leyendo
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Etiquetado dominio, euclideo, integridad, no
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