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Archivo de la etiqueta: Euler
Teorema de representación de Euler
RESUMEN. Demostramos el teorema de representación de Euler. Teorema Si $\zeta$ es la función zeta de Riemann y $\sigma > 1$ se verifica $$\zeta(\sigma)=\prod_{p\text{ primo}}\frac{1}{1-\dfrac{1}{p^\sigma}}.$$ Demostración Se verifica $$\left(1-\frac{1}{2^\sigma}\right)\zeta (\sigma)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\sigma}-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n)^\sigma}=\sum_{n\text{ impar}}\frac{1}{n^\sigma}=1+\sum_{p\mid n\Rightarrow p>2}\frac{1}{n^\sigma}.$$ Para $P$ primo suficientemente grande y repitiendo … Sigue leyendo
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Teorema de Euler y pequeño teorema de Fermat
RESUMEN. Demostramos el Teorema de Euler y el pequeño teorema de Fermat Definición. Elijamos un número $a_i$ de cada clase de residuos módulo $m.$ Al conjunto $\{a_1,a_2,\ldots,a_m\}$ se le llama sistema completo de residuos módulo $m.$ Ejemplo. Los conjuntos $\{0,1,2,3,4\}$ … Sigue leyendo
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Funciones homogéneas, teorema de Euler
Demostramos el teorema de Euler para funciones homogéneas y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Demostrar que la función $f(x,y)=\sqrt[3]{x^5+y^5}$ es homogéna y determinar su grado. Calcular $\;\displaystyle x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}$ (a) Por derivación directa. (b) Usando el … Sigue leyendo
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Integral mediante las Gamma y Beta de Euler
Calculamos una integral, usando las funciones Gamma y Beta de Euler. Enunciado Utilizando las propiedades de las funciones gamma y beta de Euler, calcular $I=\displaystyle\int_{-1}^{1}\dfrac{dx}{\sqrt[3]{1+x-x^2-x^3}}.$ (Propuesto en examen, Amp. Cálculo, ETS Ing. Industriales, UPM). Solución Factorizando el radicando obtenemos $1+x-x^2-x^3=(1-x)(x+1)^2$ … Sigue leyendo
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Función Gamma de Euler
En este problema definimos la función gamma de Euler y demostramos varias de sus propiedades. Enunciado Para todo $p\in\mathbb{R}$ se considera la integral $$I(p)=\displaystyle\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\;dx.$$ Demostrar que esta integral es convergente sí y solamente si $p>0$. Esta condición se supondrá en … Sigue leyendo
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