Archivo de la etiqueta: Euler

Teorema de Euler y pequeño teorema de Fermat

RESUMEN. Demostramos el Teorema de Euler y el pequeño teorema de Fermat Definición. Elijamos un número $a_i$ de cada clase de residuos módulo $m.$ Al conjunto $\{a_1,a_2,\ldots,a_m\}$ se le llama sistema completo de residuos módulo $m.$ Ejemplo. Los conjuntos $\{0,1,2,3,4\}$ … Sigue leyendo

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Funciones homogéneas, teorema de Euler

Demostramos el teorema de Euler para funciones homogéneas y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Demostrar que la función  $f(x,y)=\sqrt[3]{x^5+y^5}$ es homogéna y determinar su grado. Calcular  $\;\displaystyle x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}$ (a) Por derivación directa. (b) Usando el … Sigue leyendo

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Integral mediante las Gamma y Beta de Euler

Calculamos una integral, usando las funciones Gamma y Beta de Euler. Enunciado Utilizando las propiedades de las funciones gamma y beta de Euler, calcular $I=\displaystyle\int_{-1}^{1}\dfrac{dx}{\sqrt[3]{1+x-x^2-x^3}}.$ (Propuesto en examen, Amp. Cálculo, ETS  Ing. Industriales, UPM). Solución Factorizando el radicando obtenemos $1+x-x^2-x^3=(1-x)(x+1)^2$ … Sigue leyendo

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Función Gamma de Euler

En este problema definimos la función gamma de Euler y demostramos varias de sus propiedades. Enunciado Para todo $p\in\mathbb{R}$ se considera la integral $$I(p)=\displaystyle\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\;dx.$$ Demostrar que esta integral es convergente sí y solamente si $p>0$. Esta condición se supondrá en … Sigue leyendo

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Integral de Euler-Poisson

Calculamos la integral de Euler-Poisson. Enunciado Este problema tiene por objeto desarrollar una demostración de la conocida fórmula:$$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\;dt=\sqrt[]{\pi}.\quad (*)$$ Se considera la función $f$ definida para cada $x\geq 0$ mediante $$f(x)=\displaystyle\int_0^{1}\dfrac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}\;dt.$$ Calcular $f(0)$ y determinar $\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}.$ Obtener una expresión … Sigue leyendo

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