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Archivo de la etiqueta: exponencial
Fórmula integral de Cauchy y matriz exponencial
Relacionamos la fórmula integral de Cauchy con la matriz exponencial. Enunciado La fórmula integral de Cauchy se puede generalizar a matrices de la siguiente manera $$f(M)=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\gamma}f(z)(zI-M)^{-1}\;dz,$$ donde $\gamma$ es la circunferencia $|z|=r,$ $I$ es la matriz identidad y todos … Sigue leyendo
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Función exponencial real
En este problema se demuestra la existencia y unicidad de la función exponencial real. Enunciado Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función que satisface $f^{\prime}=f$ y $f(0)=1.$ Se pide, Demostrar que $f(x)\neq 0$ para todo $x\in\mathbb{R}.$ Demostrar que la función $f$ es única. … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado exponencial, función, real
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Funciones de orden exponencial
Definimos el orden exponencial de una función y proporcionamos ejemplos. Enunciado Una función $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ se dice que es de orden exponencial si, y sólo si existen $\alpha\in\mathbb{R},$ $t_0>0,$ $M>0$ tales que $$\left|f(t)\right|<Me^{\alpha t}\text{ si } t>t_0.$$ Demostrar que toda función … Sigue leyendo
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Etiquetado exponencial, funciones, orden
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Función exponencial compleja
Definimos la función exponencial compleja y estudiamos alguna de sus propiedades. Enunciado Demostrar que para todo $z_1,z_2\in\mathbb{C}$ se verifica $e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$ y $e^{z_1}/e^{z_2}=e^{z_1-z_2}.$ Demostrar que para todo $z\in\mathbb{C}, \;k\in\mathbb{Z}$ se verifica $\left|e^z\right|=e^x$ y $e^{z+2k\pi i}=e^z.$ Determinar los valores de $z\in\mathbb{C}$ para … Sigue leyendo
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Número e y exponencial de una matriz
Se define la exponencial de una matriz como generalización de la exponencial real. Enunciado En la Enseñanza Media se define el número $e$ como el límite: $\displaystyle\lim_{m \to \infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^m,$ y de manera más general resulta ser $e^a=\displaystyle\lim_{m \to \infty}\left(1+\frac{1}{m}a\right)^m,$ donde … Sigue leyendo
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