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Derivada aritmética en dominios de factorización única

Derivada aritmética (menú) Extendemos la definición de derivada aritmética a dominios de factorización única. Enunciado Sea $D$ un dominio de factorización única y elijamos en $D$ los elementos irreducibles que son «positivos», es decir elijamos un conjunto $\mathcal{P}$ de elementos … Sigue leyendo

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Factorización en $\mathbb{C} [x]$ de $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n$

Enunciado Descomponer $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n \in \mathbb{C}[x]$ en factores lineales. Solución Hallemos las raíces complejas de $p(x).$ Tenemos $$p(x)=0\Leftrightarrow (x+1)^n+(x-1)^n=0\Leftrightarrow{}\left(\displaystyle\frac{x+1}{x-1}\right)^n=-1$$ $$\Leftrightarrow{}\dfrac{x+1}{x-1}=\sqrt[ n]{-1}=\sqrt[ n]{e^{\pi i}}=e^{\left(\frac{\pi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)i}=z_k,\; (k=0,1,\ldots, n-1).$$ Despejando $x$ obtenemos las raíces $$x_k=\dfrac{z_k+1}{z_k-1}=\dfrac{e^{\left(\frac{\pi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)i}+1}{e^{\left(\frac{\pi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)i}-1}.$$ Llamando $\alpha=\pi/n+2k\pi/n$ tenemos $$x_k=\dfrac{e^{\alpha i}+1}{e^{\alpha i}-1}=\dfrac{e^{(-\alpha/2)i}}{e^{(-\alpha/2)i}}\cdot \dfrac{e^{\alpha i}+1}{e^{\alpha i}-1}=\dfrac{e^{(\alpha/2) i}+e^{(-\alpha/2)i}}{e^{(\alpha/2) … Sigue leyendo

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