Archivo de la etiqueta: factorización

Enunciado Descomponer $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n \in \mathbb{C}[x]$ en factores lineales. Solución Hallemos las raíces complejas de $p(x).$ Tenemos $$p(x)=0\Leftrightarrow (x+1)^n+(x-1)^n=0\Leftrightarrow{}\left(\displaystyle\frac{x+1}{x-1}\right)^n=-1$$ $$\Leftrightarrow{}\dfrac{x+1}{x-1}=\sqrt[ n]{-1}=\sqrt[ n]{e^{\pi i}}=e^{\left(\frac{\pi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)i}=z_k,\; (k=0,1,\ldots, n-1).$$ Despejando $x$ obtenemos las raíces $$x_k=\dfrac{z_k+1}{z_k-1}=\dfrac{e^{\left(\frac{\pi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)i}+1}{e^{\left(\frac{\pi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)i}-1}.$$ Llamando $\alpha=\pi/n+2k\pi/n$ tenemos $$x_k=\dfrac{e^{\alpha i}+1}{e^{\alpha i}-1}=\dfrac{e^{(-\alpha/2)i}}{e^{(-\alpha/2)i}}\cdot \dfrac{e^{\alpha i}+1}{e^{\alpha i}-1}=\dfrac{e^{(\alpha/2) i}+e^{(-\alpha/2)i}}{e^{(\alpha/2) … Sigue leyendo →