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Derivada aritmética en dominios de factorización única

Derivada aritmética (menú) Extendemos la definición de derivada aritmética a dominios de factorización única. Enunciado Sea $D$ un dominio de factorización única y elijamos en $D$ los elementos irreducibles que son «positivos», es decir elijamos un conjunto $\mathcal{P}$ de elementos … Sigue leyendo

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Factorización en $\mathbb{C} [x]$ de $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n$

Enunciado Descomponer $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n \in \mathbb{C}[x]$ en factores lineales. Solución Hallemos las raíces complejas de $p(x).$ Tenemos $$p(x)=0\Leftrightarrow (x+1)^n+(x-1)^n=0\Leftrightarrow{}\left(\displaystyle\frac{x+1}{x-1}\right)^n=-1$$ $$\Leftrightarrow{}\dfrac{x+1}{x-1}=\sqrt[ n]{-1}=\sqrt[ n]{e^{\pi i}}=e^{\left(\frac{\pi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)i}=z_k,\; (k=0,1,\ldots, n-1).$$ Despejando $x$ obtenemos las raíces $$x_k=\dfrac{z_k+1}{z_k-1}=\dfrac{e^{\left(\frac{\pi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)i}+1}{e^{\left(\frac{\pi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)i}-1}.$$ Llamando $\alpha=\pi/n+2k\pi/n$ tenemos $$x_k=\dfrac{e^{\alpha i}+1}{e^{\alpha i}-1}=\dfrac{e^{(-\alpha/2)i}}{e^{(-\alpha/2)i}}\cdot \dfrac{e^{\alpha i}+1}{e^{\alpha i}-1}=\dfrac{e^{(\alpha/2) i}+e^{(-\alpha/2)i}}{e^{(\alpha/2) … Sigue leyendo

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Factorización canónica de la función seno

Proponemos como ejemplo de factorización canónica, a la función seno. Enunciado Efectuar la factorización canónica de la aplicación $\;f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$  $\;f(x)=\text{sen }x.$ Solución La relación de equivalencia $\sim$ asociada a la aplicación  $f$ es $s\sim t$ $\Leftrightarrow$ $f(s)=f(t),$ o bien … Sigue leyendo

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Factorización de polinomios

Proporcionamos ejemplos de factorización de polinomios en producto de irreducibles. Enunciado Descomponer el polinomio $f(x)=x^6+1$ en producto de factores irreducibles $a)$ En $\mathbb{C}[x].\quad$ $b)$ En $\mathbb{R}[x].$ Descomponer el polinomio $f(x)=x^4-10x^2+1$ en producto de factores irreducibles $a)$ En $\mathbb{C}[x].\quad$ $b)$ En … Sigue leyendo

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