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Archivo de la etiqueta: Fibonacci
Relación de Fibonacci $f_{2n+1}=f_n^2+f_{n+1}^2$
RESUMEN. Demostramos la relación de Fibonacci $f_{2n+1}=f_n^2+f_{n+1}^2$. Enunciado Se considera la sucesión de Fibonacci $$f_0=0,f_1=1,f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\;(n\ge 2).$$ Sea la matriz $$A=\left[\begin{array}{cc}1&1 \\ 1&0\end{array}\right].$$ (a) Demostrar por inducción que $$\left[\begin{array}{cc}f_{n+1}&f_n \\ f_n&f_{n-1}\end{array}\right]=A^n\;(\forall n\ge1).$$ (b) Demostrar que $f_{2n+1}=f_n^2+f_{n+1}^2\; (\forall{n\geq{1}}).$ Solución (a) Para $n=1$ … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado f_{2n+1}=f_n^2+f_{n+1}^2, Fibonacci, relación
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Determinante y sucesión de Fibonacci
Relacionamos un determinante con la sucesión de Fibonacci. Enunciado Sea $1,2,3,5,8,13,\ldots$ la sucesión de Fibonacci y consideremos la matriz: $$A_n=\begin{bmatrix}{\;\;1}&{\;\;1}&{0}&{0}&{\ldots}&{\;\;0}&{0}\\{-1}&{\;\;1}&{1}&{0}&{\ldots}&{\;\;0}&{0}\\{\;\;0}&{-1}&{1}&{1}&{\ldots}&{\;\;0}&{0}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}\\{\;\;0}&{\;\;0}&{0}&{0}&{\ldots}&{-1}&{1}\end{bmatrix}.$$ Probar que $\det A_n$ coincide con el termino enésimo de la sucesión. Solución La sucesión de Fibonacci $\{x_n\}$ está determinada … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado determinante, Fibonacci, sucesión
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Sucesión de Fibonacci
Estudiamos algunas propiedades de la sucesión de Fibonacci. Enunciado Consideremos la sucesión de Fibonacci, esto es $\left\{F_n\right\}_{n=0,1,2,\ldots}$ tal que: $$F_0=F_1=1,\quad F_{n+2}=F_n+F_{n+1}.\quad (*)$$ Es conocido que existe: $\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\dfrac{F_{n+1}}{F_n}}.$ Usando las condiciones $(*)$, calcúlese justificadamente dicho límite. Considérese la serie $\sum_{n=0}^{+\infty}F_nx^n$. … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado Fibonacci, sucesión
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