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Fórmula integral de Cauchy y matriz exponencial

Relacionamos la fórmula integral de Cauchy con la matriz exponencial. Enunciado La fórmula integral de Cauchy se puede generalizar a matrices de la siguiente manera $$f(M)=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\gamma}f(z)(zI-M)^{-1}\;dz,$$ donde $\gamma$ es la circunferencia $|z|=r,$ $I$ es la matriz identidad y todos … Sigue leyendo

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Ecuación diferencial y fórmula de Leibniz

Usamos una ecuación diferencial y la fórmula de Leibniz para calcular la dervada enésima de una función en el origen. Enunciado Dada la función $y=(\textrm{Argsh}\;x)^2,$ Demostrar que se verifica la igualdad $(1+x^2)y^{\prime\prime}+xy’=2$. Utilizando la igualdad anterior y la fórmula de … Sigue leyendo

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Fórmula de Wallis

En este problema se demuestra la fórmula de Wallis. Enunciado Sea $\;\;I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^nx\;dx,\; \forall n\in \mathbb{N} .$ Establecer una relación de recurrencia entre $I_n$ e $I_{n-2}.$ Establecer una fórmula que permita calcular $I_n$ conocido $n.$ Demostrar que $\displaystyle\lim_{n \to \infty}{\dfrac{I_{2n+1}}{I_{2n}}}=1$ y … Sigue leyendo

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Fórmula de Leibniz de la derivada enésima

Demostramos la  fórmula de Leibniz de la derivada enésima y proprcionamos ejercicioss de aplicación. Enunciado Desarrollar la fórmula de Leibniz en el caso $n=4.$ Siendo $f(x)=\sqrt{x}\log (x+1)$ calcular $f^{(4)}(1)$ usando la fórmula de Leibniz. Siendo $f(x)=e^x\operatorname{sen}x$ calcular $f^{(4)}(\pi/2).$ Usando la … Sigue leyendo

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Una aplicación de la fórmula de Taylor

Enunciado De una función  $f:(-2,2)\to\mathbb{R}$  sabemos que admite derivadas de cualquier orden y que las derivadas se pueden acotar del siguiente modo $$|f^{(n)}(x)|\leq \displaystyle\frac{2^{n+2}n!}{3^{n+1}}\qquad( \forall{n\in\mathbb{N}},\;\forall{x\in [0,1/2]}).$$ Además conocemos que  $f(0)=1$  y  $f^{(n)}(0)=\displaystyle\frac{n!}{2^n}$. Calcúlese $f(1/2).$ Indicación.  Puede ser útil encontrar una … Sigue leyendo

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Fórmula de Cauchy-Hadamard

Demostramos la fórmula de Cauchy-Hadamard y proporcionamos un ejemplo de aplicación. Enunciado Demostrar el teorema de Cauchy-Hadamard: Sea la serie entera compleja $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n$ y $\rho$ su radio de convergencia. Entonces $$\frac{1}{\rho}=\limsup_{n\to +\infty} \;\left|a_n\right|^{1/n}.$$ Usando la fórmula de Cauchy-Hadamard hallar el … Sigue leyendo

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Fórmula de Taylor

Proporcionamos ejercicios de aplicación de la fórmula de Taylor. Enunciado Escribir la fórmula de Maclaurin de orden $2$ para las funciones: $(a)\;f(x)=\sqrt{1+x}.\quad (b)\;g(x)=\sqrt[3]{1+x}.$ Escribir la fórmula de Maclaurin de orden $5$ para la función $f(x)=\operatorname{sen}x.$ Escribir la fórmula de Taylor … Sigue leyendo

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