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Archivo de la etiqueta: fórmula
Fórmula integral de Cauchy y matriz exponencial
Relacionamos la fórmula integral de Cauchy con la matriz exponencial. Enunciado La fórmula integral de Cauchy se puede generalizar a matrices de la siguiente manera $$f(M)=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\gamma}f(z)(zI-M)^{-1}\;dz,$$ donde $\gamma$ es la circunferencia $|z|=r,$ $I$ es la matriz identidad y todos … Sigue leyendo
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Etiquetado Cauchy, exponencial, fórmula, integral, matriz
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Ecuación diferencial y fórmula de Leibniz
Usamos una ecuación diferencial y la fórmula de Leibniz para calcular la dervada enésima de una función en el origen. Enunciado Dada la función $y=(\textrm{Argsh}\;x)^2,$ Demostrar que se verifica la igualdad $(1+x^2)y^{\prime\prime}+xy’=2$. Utilizando la igualdad anterior y la fórmula de … Sigue leyendo
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Etiquetado diferencial, ecuación, fórmula, Leibniz
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Fórmula de Wallis
En este problema se demuestra la fórmula de Wallis. Enunciado Sea $\;\;I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^nx\;dx,\; \forall n\in \mathbb{N} .$ Establecer una relación de recurrencia entre $I_n$ e $I_{n-2}.$ Establecer una fórmula que permita calcular $I_n$ conocido $n.$ Demostrar que $\displaystyle\lim_{n \to \infty}{\dfrac{I_{2n+1}}{I_{2n}}}=1$ y … Sigue leyendo
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Etiquetado fórmula, Wallis
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Fórmula de Leibniz de la derivada enésima
Demostramos la fórmula de Leibniz de la derivada enésima y proprcionamos ejercicioss de aplicación. Enunciado Desarrollar la fórmula de Leibniz en el caso $n=4.$ Siendo $f(x)=\sqrt{x}\log (x+1)$ calcular $f^{(4)}(1)$ usando la fórmula de Leibniz. Siendo $f(x)=e^x\operatorname{sen}x$ calcular $f^{(4)}(\pi/2).$ Usando la … Sigue leyendo
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Etiquetado derivada, enésima, fórmula, Leibniz
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Una aplicación de la fórmula de Taylor
Enunciado De una función $f:(-2,2)\to\mathbb{R}$ sabemos que admite derivadas de cualquier orden y que las derivadas se pueden acotar del siguiente modo $$|f^{(n)}(x)|\leq \displaystyle\frac{2^{n+2}n!}{3^{n+1}}\qquad( \forall{n\in\mathbb{N}},\;\forall{x\in [0,1/2]}).$$ Además conocemos que $f(0)=1$ y $f^{(n)}(0)=\displaystyle\frac{n!}{2^n}$. Calcúlese $f(1/2).$ Indicación. Puede ser útil encontrar una … Sigue leyendo
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Etiquetado aplicación, fórmula, Taylor
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