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Función de distribución de una variable aleatoria

RESUMEN. Definmos el concepto de función de distribución de una variable aleatoria y demostramos sus propiedades. Lema. Sea $(\Omega,\mathcal{M},p)$ un espacio probabilístico y $A_n$ una sucesión de elementos de $\mathcal{M}$. $(a)$ Si $A_n$ es creciente, es decir $A_1\subset A_2\subset A_3\subset … Sigue leyendo

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Variación total de una función

Proporcionamos ejercicios sobre la variación total de una función. Enunciado Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función de variación acotada. Para toda partición $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ de $[a,b]$ denotamos por $\sum (P)$ a la suma $\sum_{k=1}^n\left|\Delta f_k\right|.$ Llamamos variación total de $f$ en $[a,b]$ … Sigue leyendo

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Función suave pero no analítica

Proporcionamos un ejemplo de función suave, i.e. de clase infinito, que no es analítica, i.e. que no es igual a la suma de su serie de Maclaurin. Enunciado Sea la función  $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ $$f(x)=\begin{cases}e^{-1/x}&\text{si }x>0,\\ 0&\text{si }x\le0.\end{cases}$$ Demostrar que para … Sigue leyendo

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Función entera que es polinómica

Proporcionamos una condición suficiente para que una función entera sea polinómica. Enunciado Sea  $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ una función entera tal que existen $\alpha >0,$ $K>0$ cumpliendo $$\left|f(z)\right|\le K\left(1+\left|z\right|\right)^{\alpha},\quad \forall z\in\mathbb{C}.$$ Demostrar que $f(z)$ es un polinomio de grado a lo sumo … Sigue leyendo

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La función de Thomae es integrable Riemann en [0,1]

Demostramos que la función de Thomae es integrable Riemann en el intervalo $[0,1].$ Enunciado Se define la función de Thomae como la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que $$f(x) = \begin{cases} 1 &\text{si }x=0\\ \dfrac{1}{q} &\text{si }x\text{ is racional, }x=\dfrac{p}{q},\; q … Sigue leyendo

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