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Distancia $d(x,y)=|f(x)-f(y)|$ en los reales

Estudiamos propiedades de una métrica definida a partir de una función estrictamente creciente. Enunciado Sea  $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función estrictamente creciente. Demostrar que $d(x,y)=\left|f(x)-f(y)\right|$ es una distancia en $\mathbb{R}.$ Demostrar que si  $f$ no es continua, la distancia  $d$ no es … Sigue leyendo

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Derivada enésima de la función seno

Demostramos por inducción la fórmula de la derivada enésima de la función seno. Enunciado Demostrar por inducción que si  $f(x)=\text{sen }x,$ entonces $$f^{(n)}(x)=\text{sen}\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right),$$ en donde $f^{(n)}(x)$ representa la derivada enésima de $f(x).$ Solución Recordemos las fórmulas de trigonometría: $$\text{sen }(a+ … Sigue leyendo

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Factorización canónica de la función seno

Proponemos como ejemplo de factorización canónica, a la función seno. Enunciado Efectuar la factorización canónica de la aplicación $\;f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$  $\;f(x)=\text{sen }x.$ Solución La relación de equivalencia $\sim$ asociada a la aplicación  $f$ es $s\sim t$ $\Leftrightarrow$ $f(s)=f(t),$ o bien … Sigue leyendo

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Función exponencial real

En este problema se demuestra la existencia y unicidad de la función exponencial real. Enunciado Sea  $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función que satisface  $f^{\prime}=f$ y  $f(0)=1.$ Se pide, Demostrar que $f(x)\neq 0$ para todo $x\in\mathbb{R}.$ Demostrar que la función $f$ es única. … Sigue leyendo

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Función exponencial compleja

Definimos la función exponencial compleja y estudiamos alguna de sus propiedades. Enunciado Demostrar que para todo $z_1,z_2\in\mathbb{C}$ se verifica $e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$ y $e^{z_1}/e^{z_2}=e^{z_1-z_2}.$ Demostrar que para todo $z\in\mathbb{C}, \;k\in\mathbb{Z}$ se verifica $\left|e^z\right|=e^x$ y $e^{z+2k\pi i}=e^z.$ Determinar los valores de $z\in\mathbb{C}$ para … Sigue leyendo

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