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La función de Thomae es integrable Riemann en [0,1]

Demostramos que la función de Thomae es integrable Riemann en el intervalo $[0,1].$ Enunciado Se define la función de Thomae como la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que $$f(x) = \begin{cases} 1 &\text{si }x=0\\ \dfrac{1}{q} &\text{si }x\text{ is racional, }x=\dfrac{p}{q},\; q … Sigue leyendo

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Distancia $d(x,y)=|f(x)-f(y)|$ en los reales

Estudiamos propiedades de una métrica definida a partir de una función estrictamente creciente. Enunciado Sea  $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función estrictamente creciente. Demostrar que $d(x,y)=\left|f(x)-f(y)\right|$ es una distancia en $\mathbb{R}.$ Demostrar que si  $f$ no es continua, la distancia  $d$ no es … Sigue leyendo

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Derivada enésima de la función seno

Demostramos por inducción la fórmula de la derivada enésima de la función seno. Enunciado Demostrar por inducción que si  $f(x)=\text{sen }x,$ entonces $$f^{(n)}(x)=\text{sen}\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right),$$ en donde $f^{(n)}(x)$ representa la derivada enésima de $f(x).$ Solución Recordemos las fórmulas de trigonometría: $$\text{sen }(a+ … Sigue leyendo

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Factorización canónica de la función seno

Proponemos como ejemplo de factorización canónica, a la función seno. Enunciado Efectuar la factorización canónica de la aplicación $\;f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$  $\;f(x)=\text{sen }x.$ Solución La relación de equivalencia $\sim$ asociada a la aplicación  $f$ es $s\sim t$ $\Leftrightarrow$ $f(s)=f(t),$ o bien … Sigue leyendo

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Función exponencial real

En este problema se demuestra la existencia y unicidad de la función exponencial real. Enunciado Sea  $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función que satisface  $f^{\prime}=f$ y  $f(0)=1.$ Se pide, Demostrar que $f(x)\neq 0$ para todo $x\in\mathbb{R}.$ Demostrar que la función $f$ es única. … Sigue leyendo

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