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Sistema libre de infinitas funciones troceadas

RESUMEN. Demostramos que un sistema libre de infinitas funciones troceadas es libre. Enunciado Para cada $n\in \mathbb{Z}_{>0}$ se considera la función $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$: $$f_n(x)=\left \{ \begin{matrix}{0}&\text{si}& 0\leq x\leq \dfrac{1}{n+1}\\2n(n+1)x-2n & \text{si}& \dfrac{1}{n+1} < x<\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}\right)\\1 & \text{si}& x=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}\right)\\-2n(n+1)x+2n+2&\textsf{si}& \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}\right) < x … Sigue leyendo

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Espacio prehilbertiano de las funciones continuas

RESUMEN. Demostramos el espacio de las funciones complejas en un intervalo cerrado es prehilbertiano pero no de Hilbert. Enunciado (a) Sea $P$ el espacio vectorial complejo de las funciones complejas continuas definidas en el intervalo cerrado real $[a,b].$ Es decir, … Sigue leyendo

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Caracterización de límites de funciones en espacios métricos por sucesiones

RESUMEN. Demostramos el teorema de caracterización de límites de funciones en espacios métricos por sucesiones. Teorema. Sean $(X,d)$ un espacio métrico, $A\subset X$, $f:A\to X$ una función, $a$ un punto de acumulación de $A$ y $b\in X.$ Entonces, $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b\Leftrightarrow … Sigue leyendo

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Diferencia de funciones crecientes

Demostramos que una función es de variación acotada si y sólo si, se puede expresar como diferencia de dos funciones crecientes. Enunciado Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ de variación acotada. Definimos la función $$V:[a,b]\to \mathbb{R},\quad V(x)=\begin{cases} V_f(a,x) & \text{si}& 0 < x … Sigue leyendo

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Funciones de variación acotada

Proporcionamos ejercicios sobre funciones de variación acotada. Enunciado Estudiar si las siguientes funciones son de variación acotada $$\begin{aligned}& (a)\quad f:[a,b]\to\mathbb{R},\;f(x)=x.\\ & (b)\quad g:[0,1]\to\mathbb{R},\;g(x)=\begin{cases} x\cos \dfrac{1}{x} & \text{si}& x\ne 0\\0 & \text{si}& x=0.\end{cases}\end{aligned}$$ Demostrar que si $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ es monótona, entonces es … Sigue leyendo

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