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Archivo de la etiqueta: funciones
Funciones de variación acotada
Proporcionamos ejercicios sobre funciones de variación acotada. Enunciado Estudiar si las siguientes funciones son de variación acotada $$\begin{aligned}& (a)\quad f:[a,b]\to\mathbb{R},\;f(x)=x.\\ & (b)\quad g:[0,1]\to\mathbb{R},\;g(x)=\begin{cases} x\cos \dfrac{1}{x} & \text{si}& x\ne 0\\0 & \text{si}& x=0.\end{cases}\end{aligned}$$ Demostrar que si $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ es monótona, entonces es … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado acotada, funciones, variación
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Funciones cumpliendo $ f'(\lambda x) = f'(x)\sin x + f(x)\cos x$
Resolvemos una ecuación en derivadas, con un parámetro. Enunciado Determinar todas las funciones derivables $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen la ecuación $$ f'(\lambda x) = f'(x)\sin x + f(x)\cos x\quad \forall \lambda>0.$$ Solución Sea $f$ una función que satisface la igualdad dada. … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado cumpliendo, funciones
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El anillo de las funciones continuas no es noetheriano
Demostramos que el anillo $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ de las funciones continuas de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ no es noetheriano usando la caracterización de la condición de cadena ascendente. Enunciado Sea $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ el anillo conmutativo y unitario de las funciones continuas de $\mathbb{R}$ en … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado anillo, continuas, funciones, noetheriano
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Ideal maximal en el anillo de las funciones de clase infinito
Demostramos que el ideal de las funciones que se anulan en 0 es ideal maximal del anillo de las funciones de clase infinito. Enunciado Sea $A=\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R})$ el conjunto de las funciones de clase infinito de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}.$ Demostrar que … Sigue leyendo
Diagonalización de $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ con funciones hiperbólicas
Enunciado Estudiar para qué valores de $x\in\mathbb{R}$ la siguiente matriz es diagonalizable en $\mathbb{R}$ $$A=\begin{bmatrix}\cosh x&\sinh x \\\sinh x&\cosh x\end{bmatrix}.$$ En cada caso, hallar la forma canónica de $A.$ Solución Polinomio característico de $A$ $$\chi(\lambda)=\lambda^2-(\text{traza }A)\lambda +\det A=\lambda^2-(2\cosh x)\lambda+\cosh^2x-\sinh^2x$$ $$=\lambda^2-\left(e^x+e^{-x}\right)\lambda … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado $Ainmathbb{R}^{2times 2}$, diagonalización, funciones, hiperbólicas
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