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Funciones cumpliendo $ f'(\lambda x) = f'(x)\sin x + f(x)\cos x$

Resolvemos una ecuación en derivadas, con un parámetro. Enunciado Determinar todas las funciones derivables  $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen la ecuación $$ f'(\lambda x) = f'(x)\sin x + f(x)\cos x\quad \forall \lambda>0.$$ Solución Sea  $f$ una función que satisface la igualdad dada. … Sigue leyendo

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El anillo de las funciones continuas no es noetheriano

Demostramos que el anillo $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ de las funciones continuas de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ no es noetheriano usando la caracterización de la condición de cadena ascendente. Enunciado Sea  $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ el anillo conmutativo y unitario de las funciones continuas de $\mathbb{R}$ en … Sigue leyendo

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Ideal maximal en el anillo de las funciones de clase infinito

Demostramos que el ideal de las funciones que se anulan en 0 es ideal maximal del anillo de las funciones de clase infinito. Enunciado Sea  $A=\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R})$ el conjunto de las funciones de clase infinito de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}.$ Demostrar que … Sigue leyendo

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Diagonalización de $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ con funciones hiperbólicas

Enunciado Estudiar para qué valores de $x\in\mathbb{R}$ la siguiente matriz es diagonalizable en $\mathbb{R}$ $$A=\begin{bmatrix}\cosh x&\sinh x \\\sinh x&\cosh x\end{bmatrix}.$$ En cada caso, hallar la forma canónica de $A.$ Solución Polinomio característico de $A$ $$\chi(\lambda)=\lambda^2-(\text{traza }A)\lambda +\det A=\lambda^2-(2\cosh x)\lambda+\cosh^2x-\sinh^2x$$ $$=\lambda^2-\left(e^x+e^{-x}\right)\lambda … Sigue leyendo

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Funciones cumpliendo $f(x)-f(y)\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|$

Enunciado Sea  $E$ el conjunto de las funciones  $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ verificando que existe una constante  $k_f\le 0$ tal que $$f(x)-f(y)\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|\quad \forall x,y\in\mathbb{R}.$$ (a) Demostrar que si  $f\in E,$  $f$ es periódica de periodo $2\pi,$ continua y acotada. (b)  Sea  $f\in … Sigue leyendo

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