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Archivo de la etiqueta: funciones
Funciones cumpliendo $f(x)-f(y)\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|$
Enunciado Sea $E$ el conjunto de las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ verificando que existe una constante $k_f\le 0$ tal que $$f(x)-f(y)\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|\quad \forall x,y\in\mathbb{R}.$$ (a) Demostrar que si $f\in E,$ $f$ es periódica de periodo $2\pi,$ continua y acotada. (b) Sea $f\in … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado $f(x)-f(y)le k_fleft|operatorname{sen}x-operatorname{sen}yright|$, cumpliendo, funciones
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Funciones homogéneas, teorema de Euler
Demostramos el teorema de Euler para funciones homogéneas y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Demostrar que la función $f(x,y)=\sqrt[3]{x^5+y^5}$ es homogéna y determinar su grado. Calcular $\;\displaystyle x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}$ (a) Por derivación directa. (b) Usando el … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado Euler, funciones, homogéneas, teorema
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Espacio de funciones y forma de Jordan
Usamos la forma de Jordan de operadores en un espacio de funciones. Enunciado Consideremos el espacio vectorial $V$ generado por el sistema de funciones $$\{1,x,x^2,x^3,\text{sh } x,\text{ch }x\}.$$ Sea $D:V\to V$ la aplicación derivada, es decir $D(f)=f’.$ Calcular unas bases … Sigue leyendo
Espacio vectorial de las funciones definidas en un conjunto
Construimos el espacio vectorial de las funciones definidas en un conjunto. Enunciado Sea $A$ un conjunto no vacío y sea $F$ un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}.$ Denotamos por $\mathscr{F}(A,F)=\{f:A\to F\}$ al conjunto de las funciones $f$ de $A$ … Sigue leyendo
Convolución de dos funciones
Usamos la convolución de dos funciones para calcular algunas transformadas inversas de Laplace. Enunciado Demostrar que la convolución es conmutativa. Usando la convolución, hallar $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s^2+1)}\right\}.$ Solución Efectuando el cambio $v=t-u,$ $$g(t)*f(t)=\int_0^tg(u)f(t-u)\;du=\int_t^0g(t-v)f(v)\;(-dv)$$ $$=\int_0^tf(v)g(t-v)\;dv=f(t)*g(t).$$ Eligiendo $f(t)=1$ y $g(t)=\operatorname{sen}t,$ $$\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\frac{1}{s}=F(s),\quad \mathcal{L}\left\{g(t)\right\}=\frac{1}{s^2+1}=G(s).$$ Entonces, $$\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s^2+1)}\right\}=\mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)G(s)\right\}=f(t)*g(t)$$ … Sigue leyendo
Publicado en Ecuaciones diferenciales
Etiquetado convolución, funciones
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