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Archivo de la etiqueta: grupo
Isomorfismo entre el grupo de Möbius y $\text{GL}_2(\mathbb{C})/Z$
RESUMEN. Demostramos que el grupo de las transformaciones de Möbius es isomorfo al grupo lineal complejo de orden 2 sobre su centro. Enunciado Sea $\text{GL}_2(\mathbb{C})$ el grupo lineal de las matrices cuadradas complejas de orden $2$ y $\mathcal{M}$ el grupo … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado escalares, grupo, isomorfismo, matrices, Möbius
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Grupo de las transformaciones de Möbius
RESUMEN. Demostramos las transformaciones de Möbius forman un grupo con la operación composición. Si $T=\dfrac{az+b}{cz+d}$ es una transformación de Möbius, denominamos a la matriz $$M_T=\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}$$ matriz asociada $T$ y claramente $\det M_T\ne 0.$ Enunciado (1) Sean $T_1$ y $T_2$ dos … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado grupo, Möbius, transformaciones
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Grupo de las isometrías del plano
RESUMEN. Demostramos que las isometrías tienen estructura de grupo con la operación composición. Teorema. Toda isometría $h$ del plano es función biyectiva y su inversa $h^{-1}$ también es una isometría. Demostración. Si $h(z)=\alpha z+\beta$ con $\left|\alpha\right|=1$ entonces, $$h(z_1)=h(z_2)\Rightarrow \alpha z_1+\beta=\alpha … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado grupo, isometrías
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Grupo en $(-1,1)$
RESUMEN. Construimos una estructura de grupo abeliano en el intervalo $(-1,1).$ Enunciado. Sea $G=(-1,1)\subset \mathbb{R}.$ Para todo $a,b\in\mathbb{R}$ se define $$a*b=\frac{a+b}{1+ab}.$$ Demostrar que $(G,*)$ es un grupo abeliano. Solución. Interna. Para todo $a,b\in G$ tenemos que demostar que $a*b\in G.$ … Sigue leyendo
Todo grupo de orden primo es cíclico
Demostramos que todo grupo de orden primo es cíclico y como aplicación determinamos todos los grupos de órdenes $n=1,2,3,5,7.$ Teorema. Sea $G$ un grupo tal que $|G|=p$ primo. Entonces, $G$ es grupo cíclico. Demostración. Como $|G|=p\ge 2$, el grupo tiene … Sigue leyendo
