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Grupo multiplicativo de las unidades

Proporcionamos ejercicios sobre el grupo multiplicativo de las unidades. Enunciado Determinar las unidades (o elementos invertibles) del anillo $\mathbb{Z}.$ Determinar las unidades del anillo $\mathbb{R}^{n\times n}.$ de las matrices reales cuadradas de orden $n.$ Demostrar que si $u$ es unidad … Sigue leyendo

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Centro de un grupo de matrices

Dererminamos el centro de un grupo de matrices. Enunciado Demostrar que el conjunto  $H$  de matrices de la forma $$X=\begin{bmatrix}{1}&{x}&{z}\\{0}&{1}&{y}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}\quad  x,y,z\in\mathbb{R},$$ forma un grupo con la operación producto de matrices. Calcular su centro. (Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. de … Sigue leyendo

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Conjunto, grupo y aplicación

Relacionamos un conjunto, un grupo y una aplicación. Enunciado Se consideran los objetos matemáticos siguientes: $(a)$ Un conjunto $E$. $(b)$ Un grupo multiplicativo $G$ con elemento unidad $e$. $(c)$ Una aplicación $\varphi: G\times E\to E$ que satisface: $(i)$ $\forall{a,b\in G}\;\forall{x\in E}\quad … Sigue leyendo

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Grupo no cíclico

Proporcionamos un ejemplo de grupo no cíclico. Enunciado Sea $G=\left\{{f_1,f_2,f_3,f_4}\right\}$ el conjunto de las aplicaciones de $\mathbb{R}-\{0\}$ en $\mathbb{R}-\{0\}$ definidas mediante: $$f_1(x)=x\;,\;f_2(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\;,\;f_3(x)=-x\;,\;f_4(x)=-\displaystyle\frac{1}{x}.$$ Demostrar que $G$ es un grupo con la operación composición de aplicaciones. Verificar que no es grupo cíclico. … Sigue leyendo

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Grupo de funciones matriciales

Estudiamos un grupo de funciones matriciales. Enunciado Sea $M$ el conjunto de las matrices reales $2\times 3.$ Sea $F$ el conjunto de las aplicaciones $f_{AB}:M\to M$ definidas por $f_{AB}(X)=AX+B$ donde $A$ es una matriz invertible  $2\times 2$ y $B$ una … Sigue leyendo

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Grupo construido por biyección

Construimos un grupo por medio de una biyección. Enunciado Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales estrictamente positivos y considérese la aplicación $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}$ definida por $f(x)=\displaystyle\frac{x}{x+1}$. Hallar $C=f(\mathbb{R}^+)$ y razónese si $f:\mathbb{R}^+\to C$ es biyección o no. Si … Sigue leyendo

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Tres igualdades en un grupo

Demostramos que un grupo es abeliano a partir de tres igualdades. Enunciado Sea $(G,\cdot)$ un grupo. Supongamos que existe un entero $k$ tal que para cualesquiera que sean $a$ y $b$ pertenecientes a $G$ se verifica $$(ab)^{k-1}=a^{k-1}b^{k-1},\quad  (ab)^{k}=a^{k}b^{k},\quad (ab)^{k+1}=a^{k+1}b^{k+1}.$$ Demostrar … Sigue leyendo

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Grupo de aplicaciones afines

En este problema estudiamos un  grupo de aplicaciones afines. Enunciado Sea $C$ el conjunto de las aplicaciones $f_{ab}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definidas por $f_{ab}(x)=ax+b,$ con $ a, b$ números reales. Determinar una condición necesaria y suficiente que han de satisfacer los coeficientes … Sigue leyendo

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Grupo de clases residuales

Proporcionamos ejercicios sobre el grupo de clases residuales. Enunciado Construir la tabla de Cayley de $\mathbb{Z}/(3)=\left\{0,1,2\right\}.$ Construir las tablas de Cayley de $(\mathbb{Z}_2,+)$ y $(\mathbb{Z}_4,+).$ Construir la tabla de Cayley de $(\mathbb{Z}_6,+).$ Escribir el opuesto de cada elemento. Construir la … Sigue leyendo

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Grupo cociente

Proporcionamos ejercicios sobre el grupo cociente. Enunciado Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G.$ Demostrar que: $(i)$ La relación en $G:$ $xRy\Leftrightarrow xy^{-1}\in H$ es de equivalencia. $(ii)$ Si $H$ es subgrupo normal, para todo $g\in G$ … Sigue leyendo

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