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Archivo de la etiqueta: grupo
Grupo de Klein y sus automorfismos
Definimos el grupo de Klein y determinamos todos sus automorfismos. Enunciado Se considera el grupo $\left(\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2,+\right).$ Demostrar que el simétrico de cada elemento coincide con el propio elemento. Demostrar que $\left(\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2,+\right)$ no es cíclico. Denotemos $K=\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2,$ $e=(0,0),$ … Sigue leyendo
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Etiquetado automorfismos, grupo, Klein
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Grupo de Galois de una extensión
Definimos el grupo de Galois de una extensión y proporcionamos dos ejemplos. Enunciado Sea $L/K$ una extensión de cuerpos con $L$ subcuerpo de $\mathbb{C}.$ Se llama $K$-automorfismo de $L$ a todo automorfismo $f:L\to L$ tal que $f(x)=x$ para todo $x\in … Sigue leyendo
Todo grupo de orden 4 es abeliano
Demostramos que todo grupo de orden 4 es abeliano. Enunciado Demostrar que todo grupo de orden 4 es abeliano. Solución Sea $G$ un grupo de orden 4. Si $G$ es cíclico, ya está demostrado pues sabemos que todo grupo cíclico … Sigue leyendo
Grupo de las partes con la diferencia simétrica
Demostramos que el conjunto de las partes de un conjunto es grupo con la operación diferencia simétrica. Enunciado Sea $U$ un conjunto. Demostrar que $(\mathcal{P}(U),\Delta)$ es un grupo conmutativo, en donde $\Delta$ representa la operación diferencia simétrica de conjuntos. Solución … Sigue leyendo
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Etiquetado diferencia, grupo, partes, simétrica
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Anillo de los endomorfismos y grupo lineal
Construimos el anillo de los endomorfismos y el grupo lineal. Enunciado Demostrar que $\left(\operatorname{End}_{\mathbb{K}}(E),+,\circ \right)$ es un anillo unitario, en donde $+$ es la suma habitual de aplicaciones lineales y $\circ$ la composición. Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo … Sigue leyendo
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