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Archivo de la etiqueta: grupo
Grupo no cíclico
Proporcionamos un ejemplo de grupo no cíclico. Enunciado Sea $G=\left\{{f_1,f_2,f_3,f_4}\right\}$ el conjunto de las aplicaciones de $\mathbb{R}-\{0\}$ en $\mathbb{R}-\{0\}$ definidas mediante: $$f_1(x)=x\;,\;f_2(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\;,\;f_3(x)=-x\;,\;f_4(x)=-\displaystyle\frac{1}{x}.$$ Demostrar que $G$ es un grupo con la operación composición de aplicaciones. Verificar que no es grupo cíclico. … Sigue leyendo
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Etiquetado grupo, no cíclico, sustituciones
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Grupo de funciones matriciales
Estudiamos un grupo de funciones matriciales. Enunciado Sea $M$ el conjunto de las matrices reales $2\times 3.$ Sea $F$ el conjunto de las aplicaciones $f_{AB}:M\to M$ definidas por $f_{AB}(X)=AX+B$ donde $A$ es una matriz invertible $2\times 2$ y $B$ una … Sigue leyendo
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Etiquetado funciones, grupo, matriciales
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Grupo construido por biyección
Construimos un grupo por medio de una biyección. Enunciado Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales estrictamente positivos y considérese la aplicación $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}$ definida por $f(x)=\displaystyle\frac{x}{x+1}$. Hallar $C=f(\mathbb{R}^+)$ y razónese si $f:\mathbb{R}^+\to C$ es biyección o no. Si … Sigue leyendo
Tres igualdades en un grupo
Demostramos que un grupo es abeliano a partir de tres igualdades. Enunciado Sea $(G,\cdot)$ un grupo. Supongamos que existe un entero $k$ tal que para cualesquiera que sean $a$ y $b$ pertenecientes a $G$ se verifica $$(ab)^{k-1}=a^{k-1}b^{k-1},\quad (ab)^{k}=a^{k}b^{k},\quad (ab)^{k+1}=a^{k+1}b^{k+1}.$$ Demostrar … Sigue leyendo
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Etiquetado grupo, igualdades, tres
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Grupo de aplicaciones afines
En este problema estudiamos un grupo de aplicaciones afines. Enunciado Sea $C$ el conjunto de las aplicaciones $f_{ab}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definidas por $f_{ab}(x)=ax+b,$ con $ a, b$ números reales. Determinar una condición necesaria y suficiente que han de satisfacer los coeficientes … Sigue leyendo
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Etiquetado afines, aplicaciones, grupo
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