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Archivo de la etiqueta: grupos
Producto directo externo de grupos
RESUMEN. Construimos el producto directo externo de grupos. Enunciado Sea $\{G_i:i\in I\}$ una colección de gupos con notación multiplicativa y consideremos el producto cartesiano $$G=\prod_{i\in I}G_i=\{f:I\to\bigcup_{i\in I}G_i,f\text{ aplicación}:f(i)\in G_i\;\forall i\in I\}.$$ Para cada par de elementos $f,g\in G$ definimos $fg$ … Sigue leyendo
Grupos de orden 6
Demostramos que sólo existen dos grupos de orden $6:$ $\mathbb{Z}_6$ y $S_3.$ Lema. Todo grupo de orden par tiene algún elemento de orden $2.$ Demostración. Sea $G$ el grupo dado y para cada elemento de $G$ consideremos el conjunto $\{g,g^{-1}\}.$ … Sigue leyendo
Grupos de orden 4
Demostramos que sólo existen dos grupos de orden $4:$ $\mathbb{Z}_4$ y $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ (grupo de Klein). Teorema. $(a)$ En en el grupo de Klein $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ el simétrico de cada elemento coincide con el propio elemento. $(b)$ $\mathbb{Z}_2 … Sigue leyendo
Los grupos $\mathbb{R}^\times$ y $\mathbb{C}^\times$ no son isomorfos
Demostramos que los grupos multiplicativos de los reales y los complejos no son isomorfos. Enunciado Demostrar que los grupos multiplicativos $\mathbb{R}^\times$ y $\mathbb{C}^\times$ no son isomorfos. Solución Supongamos que existe un isomorfismo $f:\mathbb{C}^\times\to \mathbb{R}^\times.$ Tenemos $f(i^2)=f(-1).$ Ahora bien, $$1=f(1)=f[(-1)(-1)]=f(-1)f(-1)=f(-1)^2\Rightarrow f(-1)=\pm … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado $mathbb{R}^times$ y $mathbb{C}^times$, grupos, multiplicativos, no isomorfos
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Los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no son isomorfos
Demostramos que los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no pueden ser isomorfos. Enunciado Demostrar que los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo nunca son isomorfos. Solución Sea $K$ un cuerpo y sean $K^+$ y $K^{\times}$ los grupos … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado aditivo, cuerpo, grupos, multiplicativo, no isomorfos
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