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Archivo de la etiqueta: grupos
Descomposición canónica de un homomorfismo de grupos
Proporcinamos ejercicios sobre la descomposición canónica de un homomorfismo de grupos. Enunciado Sea $f:G\to G’$ un homomorfismo entre los grupos $(G,\cdot)$ y $(G’,\cdot).$ Demostrar que: (a) $n:G\to G/\ker f,\; n(x)=x\ker f$ es epimorfismo. (b) $g:G/\ker f\to \operatorname{Im}f,\;g(x\ker f)=f(x)$ es isomorfismo. … Sigue leyendo
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Clasificación de homomorfismos de grupos
Proporcionamos ejercicios sobre clasificación de homomorfismos de grupos. Enunciado Sea $f:G\to G’$ un homomorfismo de grupos. Demostrar que $f$ es monomorfismo $\Leftrightarrow$ $\ker f=\{e\},$ siendo $e$ el neutro de $G.$ Clasificar los siguientes homomorfismos: $(i)$ $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $f(x)=ax$ ( $a\in\mathbb{R}$ … Sigue leyendo
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Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos
Proporcionamos ejercicios sobre núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos. Enunciado Sea $(\mathbb{R}^*,\cdot)$ el grupo multiplicativo de los números reales no nulos. Demostrar que $f:\mathbb{R}^*\to \mathbb{R}^*,\;f(x)=x^2$ es homomorfismo entre los grupos $(\mathbb{R}^*,\cdot)$ y $(\mathbb{R}^*,\cdot).$ Determinar $\ker f$ e $\operatorname{Im}f.$ … Sigue leyendo
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Homomorfismos de grupos
Proporcionamos ejercicios sobre homomorfismos de grupos. Enunciado Demostrar que la aplicación $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $f(x)=ax$ con $a\in\mathbb{R}$ fijo es homomorfismo entre los grupos $(\mathbb{R},+)$ y $(\mathbb{R},+).$ Demostrar que la aplicación $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $f(x)=a^x$ con $a>0$ real fijo es homomorfismo entre los … Sigue leyendo
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Primeras propiedades de los grupos
Proporcionamos ejercicios sobre algunas propiedades de los grupos. Enunciado Sea $(G,*)$ un grupo. Demostrar que: $(i)$ El elemento neutro $e$ es único. $(ii)$ Para cada $x\in G$ su simétrico $x’$ es único. $(iii)$ Para cada $x\in G$ se verifica $(x’)’=x$ (es … Sigue leyendo
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