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Archivo de la etiqueta: hiperbólicas
Diagonalización de $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ con funciones hiperbólicas
Enunciado Estudiar para qué valores de $x\in\mathbb{R}$ la siguiente matriz es diagonalizable en $\mathbb{R}$ $$A=\begin{bmatrix}\cosh x&\sinh x \\\sinh x&\cosh x\end{bmatrix}.$$ En cada caso, hallar la forma canónica de $A.$ Solución Polinomio característico de $A$ $$\chi(\lambda)=\lambda^2-(\text{traza }A)\lambda +\det A=\lambda^2-(2\cosh x)\lambda+\cosh^2x-\sinh^2x$$ $$=\lambda^2-\left(e^x+e^{-x}\right)\lambda … Sigue leyendo
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Etiquetado $Ainmathbb{R}^{2times 2}$, diagonalización, funciones, hiperbólicas
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Funciones hiperbólicas complejas
Definimos las funciones hiperbólicas complejas, que generalizan a las trigonométricas reales. Enunciado Demostrar las relaciones $$\begin{aligned}&\cosh^2z-\operatorname{senh}^2z=1,\\& 1-\tanh^2z=\operatorname{sech}^2z,\\&\coth^2z-1=\operatorname{csch}^2z.\end{aligned}$$ Demostrar las relaciones $$\operatorname{senh}(-z)=-\operatorname{senh}z,\quad \cosh (-z)=\cos z,\quad \tanh (-z)=-\tanh z.$$ Demostrar las relaciones $$\begin{aligned}&a)\;\;\operatorname{senh}(z_1\pm z_2)=\operatorname{senh}z_1\cosh z_2\pm \cosh z_1\operatorname{senh}z_2,\\ &b)\;\;\cosh(z_1\pm z_2)=\cosh z_1\cosh z_2\pm \operatorname{senh} … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado complejas, funciones, hiperbólicas
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Integración de funciones hiperbólicas
Enunciado Calcular $\displaystyle\int \cosh^2x\;dx.$ Calcular $\displaystyle\int \operatorname{senh}^3x\;dx.$ Calcular $\displaystyle\int \operatorname{senh}^3x\cosh x\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int \operatorname{senh}^2x\cosh^2 x\;dx.$ Calcular $\displaystyle\int\tanh^3 x\;dx.$ Solución Tenemos: $$\int \cosh^2x\;dx=\int \frac{1}{2}(1+\cosh 2x)\;dx=\frac{1}{2}\cosh x+\frac{1}{4}\cosh 2x+C.$$ Si $t=\cosh x,$ entonces $dt=\operatorname{senh}x\;dx,$ por tanto: $$\int \operatorname{senh}^3x\;dx=\int \operatorname{senh}^2x \operatorname{senh}x\;dx=\int (\cosh^2x-1)\operatorname{senh}x\;dx$$ $$=\int(t^2-1)\;dt=\frac{t^3}{3}-t+C=\frac{\cosh^3x}{3}-\cosh x+C.$$ … Sigue leyendo
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Etiquetado funciones, hiperbólicas, integración
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Derivación de funciones hiperbólicas inversas
Proporcionamos ejercicios sobre derivación de funciones hiperbólicas inversas. Enunciado Calcular $f'(x),$ siendo $f(x)=\operatorname{arth}x-\arctan x.$ Calcular $y’,$ siendo $y=\dfrac{\operatorname{arch}x}{x}.$ Calcular $\dfrac{d}{dx}\left(\operatorname{arsen}x\;\operatorname{arsh}x\right).$ Solución $\quad f'(x)=\dfrac{1}{1-x^2}-\dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{1+x^2-1+x^2}{(1-x^2)(1+x^2)}=\dfrac{2x^2}{(1-x^2)(1+x^2)}.$ $\quad y’=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}x-\operatorname{arch}x}{x^2}=\dfrac{x-\sqrt{x^2-1}\operatorname{arch}x}{x^2\sqrt{x^2-1}}.$ $\quad \dfrac{d}{dx}\left(\operatorname{arsen}x\;\operatorname{arsh}x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\operatorname{arsh}x+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\operatorname{arsen}x.$
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Derivación de funciones hiperbólicas
Proporcionamos ejercicios sobre derivación de funciones hiperbólicas. Enunciado Hallar las derivadas de las funciones: $(a)\; y=2x\operatorname{senh} x.\;\; (b)\;y=\dfrac{3x^2}{\cosh x}.\,\, (c)\;y=x-\tanh x.$ Demostrar que: $$\dfrac{d}{dx}\operatorname{senh} x =\cosh x,\quad\dfrac{d}{dx}\cosh x =\operatorname{senh} x,\quad\dfrac{d}{dx}\tanh x =\operatorname{sech}^2 x.$$ Calcular: $(a)\;\dfrac{d}{dx}\operatorname{csch} x.\;(b)\;\dfrac{d}{dx}\operatorname{sech} x.\;(c)\;\dfrac{d}{dx}\coth x. $ Solución … Sigue leyendo
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