Archivo de la etiqueta: homomorfismo

Homomorfismo de anillos que no conserva el elemento unidad

RESUMEN. Demostramos que no todo homomorfismo de anillos conserva el elemento unidad Enunciado. Sea $\mathbb{Z}^3$ el anillo producto directo $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ con las operaciones usuales en $\mathbb{Z}.$ Demostrar que la aplicación $$f:\mathbb{Z}^3\to \mathbb{Z}^3,\quad f(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,0)$$ es un homomorfismo de anillos … Sigue leyendo

Publicado en Álgebra | Etiquetado , , , | Comentarios desactivados en Homomorfismo de anillos que no conserva el elemento unidad

Descomposición canónica de un homomorfismo de anillos

Demostramos el teorema de la descomposición canónica de un homomorfismo de anillos. Enunciado Sea $f:A\to A’$ un homomorfismo entre los anillos $A$ y $A’.$ Demostrar que, $n:A\to A/\ker f,\; n(x)=x+\ker f$ es epimorfismo. $g:A/\ker f\to \operatorname{Im}f,\;g(x+\ker f)=f(x)$ es isomorfismo. $i:\operatorname{Im}f\to … Sigue leyendo

Publicado en Álgebra | Etiquetado , , , | Comentarios desactivados en Descomposición canónica de un homomorfismo de anillos

Descomposición canónica de un homomorfismo de grupos

Proporcinamos ejercicios sobre la descomposición canónica de un homomorfismo de grupos. Enunciado Sea $f:G\to G’$ un homomorfismo entre los grupos $(G,\cdot)$ y $(G’,\cdot).$ Demostrar que: (a) $n:G\to G/\ker f,\; n(x)=x\ker f$ es epimorfismo. (b) $g:G/\ker f\to \operatorname{Im}f,\;g(x\ker f)=f(x)$ es isomorfismo. … Sigue leyendo

Publicado en Álgebra | Etiquetado , , , | Comentarios desactivados en Descomposición canónica de un homomorfismo de grupos

Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos

Proporcionamos ejercicios sobre núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos. Enunciado Sea $(\mathbb{R}^*,\cdot)$ el grupo multiplicativo de los números reales no nulos. Demostrar que $f:\mathbb{R}^*\to \mathbb{R}^*,\;f(x)=x^2$ es homomorfismo entre los grupos $(\mathbb{R}^*,\cdot)$ y $(\mathbb{R}^*,\cdot).$ Determinar $\ker f$ e $\operatorname{Im}f.$ … Sigue leyendo

Publicado en Álgebra | Etiquetado , , , | Comentarios desactivados en Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos