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Archivo de la etiqueta: impropia
Valor principal de Cauchy de una integral impropia
Definimos el valor principal de Cauchy de una integral impropia. Enunciado Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Definimos el valor principal de Cauchy (VP) de la integral $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$ como $$\text{VP}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx=\lim_{t\to+\infty}\int_{-t}^{t}f(x)\;dx.$$ Demostrar que si $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$ es convergente, … Sigue leyendo
Concepto de integral impropia en intervalos infinitos
Definimos el concepto de integral impropia en intervalos infinitos, y damos ejemplos de cálculo. Enunciado Calcular: $$(a)\;\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x}.\quad (b)\;\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^3}.\quad (c)\;\displaystyle\int_0^{+\infty}\text{sen }x\;dx.$$ Calcular: $\;(a)\;\displaystyle\int_{-\infty}^{-1}\frac{dx}{x^2}.\quad (b)\;\displaystyle\int_{-\infty}^0\frac{dx}{4+x^2}.$ Calcular $\;(a)\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1}.\quad (b)\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+4x+9}.$ Calcular $\;I=\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$ con $p\in\mathbb{R}.$ Sean $f,g:[a,+\infty)$ continuas a trozos en todo intervalo $[a,b]$ y … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado concepto, impropia, infinitos, integral, intervalos
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Integral doble impropia con parámetros
Enunciado Estudiar en función de los valores reales de $\alpha$ y $\beta$ la convergencia de la integral impropia $\displaystyle\iint_{x,y\geq 0} \dfrac{dxdy}{1+x^{\alpha}+y^{\beta}}.$ Cuando resulte convergente, expresar su valor en términos de la función gamma de Euler. Sugerencia: Hacer el cambio de … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado doble, impropia, integral, parámetros
Comentarios desactivados en Integral doble impropia con parámetros
Gram-Schmidt con integral impropia
Aplicamos el método de Gram-Schmidt, a un producto escalar definido vía una integral impropia. Enunciado Se considera el espacio vectorial $E$ formado por las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad f(x)=(a+bx)e^{-x}\;(a,b\in \mathbb{R}).$ Comprobar que $\left<f(x),g(x)\right>=\int_0^{+\infty}f(x)g(x)\;dx$ es un producto escalar que confiere a $E$ estructura … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado Gram-Schmidt, impropia, integral
Comentarios desactivados en Gram-Schmidt con integral impropia
Integral doble impropia por un cambio ortogonal
Enunciado Calcular $$I(a,b)=\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(ax^2+2bxy+cy^2)}\;dxdy\quad(a>0\;,\;ac-b^2>0).$$ (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM). Solución Consideremos la forma cuadrática $q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2=(x,y)\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{b}&{c}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}.$ De las condiciones $a>0,ac-b^2>0$ deducimos que $q$ es definida positiva. Como consecuencia del teorema espectral, existe una matriz $P$ ortogonal tal … Sigue leyendo
