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Archivo de la etiqueta: impropia
Valor principal de Cauchy de una integral impropia
Definimos el valor principal de Cauchy de una integral impropia. Enunciado Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Definimos el valor principal de Cauchy (VP) de la integral $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$ como $$\text{VP}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx=\lim_{t\to+\infty}\int_{-t}^{t}f(x)\;dx.$$ Demostrar que si $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$ es convergente, … Sigue leyendo
Concepto de integral impropia en intervalos infinitos
Definimos el concepto de integral impropia en intervalos infinitos, y damos ejemplos de cálculo. Enunciado Calcular: $$(a)\;\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x}.\quad (b)\;\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^3}.\quad (c)\;\displaystyle\int_0^{+\infty}\text{sen }x\;dx.$$ Calcular: $\;(a)\;\displaystyle\int_{-\infty}^{-1}\frac{dx}{x^2}.\quad (b)\;\displaystyle\int_{-\infty}^0\frac{dx}{4+x^2}.$ Calcular $\;(a)\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1}.\quad (b)\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+4x+9}.$ Calcular $\;I=\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$ con $p\in\mathbb{R}.$ Sean $f,g:[a,+\infty)$ continuas a trozos en todo intervalo $[a,b]$ y … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado concepto, impropia, infinitos, integral, intervalos
Comentarios desactivados en Concepto de integral impropia en intervalos infinitos
Integral doble impropia con parámetros
Enunciado Estudiar en función de los valores reales de $\alpha$ y $\beta$ la convergencia de la integral impropia $\displaystyle\iint_{x,y\geq 0} \dfrac{dxdy}{1+x^{\alpha}+y^{\beta}}.$ Cuando resulte convergente, expresar su valor en términos de la función gamma de Euler. Sugerencia: Hacer el cambio de … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado doble, impropia, integral, parámetros
Comentarios desactivados en Integral doble impropia con parámetros
Gram-Schmidt con integral impropia
Aplicamos el método de Gram-Schmidt, a un producto escalar definido vía una integral impropia. Enunciado Se considera el espacio vectorial $E$ formado por las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad f(x)=(a+bx)e^{-x}\;(a,b\in \mathbb{R}).$ Comprobar que $\left<f(x),g(x)\right>=\int_0^{+\infty}f(x)g(x)\;dx$ es un producto escalar que confiere a $E$ estructura … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado Gram-Schmidt, impropia, integral
Comentarios desactivados en Gram-Schmidt con integral impropia
Integral doble impropia por un cambio ortogonal
Enunciado Calcular $$I(a,b)=\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(ax^2+2bxy+cy^2)}\;dxdy\quad(a>0\;,\;ac-b^2>0).$$ (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM). Solución Consideremos la forma cuadrática $q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2=(x,y)\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{b}&{c}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}.$ De las condiciones $a>0,ac-b^2>0$ deducimos que $q$ es definida positiva. Como consecuencia del teorema espectral, existe una matriz $P$ ortogonal tal … Sigue leyendo
