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Archivo de la etiqueta: impropias
Integrales impropias en intervalos finitos
Proporcionamos ejemplos de cálculo y estudio de la convergencia de integrales impropias en intervalos finitos. Enunciado Calcular $\;(a)\;\displaystyle\int _0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}.\quad (b)\;\int _{-1}^2\frac{dx}{x}.$ Calcular $\;I=\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^p}$ con $p\in\mathbb{R}.$ Calcular $\displaystyle\int_0^{3}\frac{dx}{(x-1)^2}.$ Calcular $\displaystyle\int_0^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$ Calcular $\displaystyle\int_0^{1/2}\frac{dx}{x\log x}.$ Estudiar la convergencia de la integral $\displaystyle\int_1^{2}\frac{dx}{\log x}.$ … Sigue leyendo
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Convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos
Demostramos que la convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos implica la convergencia, y proporcionamos un contraejemplo que demuestra que el recíproco no es cierto. Enunciado Sea $f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que si $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ … Sigue leyendo
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Criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos
Enunciado Demostrar el criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos: Sea $f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que $$\int_a^{+\infty}f(x)\;dx \text{ es convergente}$$ $$\Leftrightarrow \forall \epsilon >0\;\exists b_0\text{ tal que } b’\ge b\ge b_0\Rightarrow \left|\int_b^{b’}f(x)\;dx\right|<\epsilon$$ Solución … Sigue leyendo
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Criterios de convergencia de integrales impropias en intervalos infinitos
Estudiamos criterios de convergencia para las integrales impropias en intervalos infinitos. Enunciado Sea $f:[a,+\infty]\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b]$ y $a’\ge a.$ Demostrar que $$\int_{a}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}\Leftrightarrow \int_{a’}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}.$$ Sea $f\ge 0$ en $[a,+\infty)$ y continua a … Sigue leyendo
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