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Archivo de la etiqueta: infinitos
Cardinales infinitos no regulares
Demostramos que existen cardinales infinitos no regulares para la suma y el producto. Es decir, para cardinales $x,y,z$ no es cierto que $xz=yz\Rightarrow x=y$ (incluso si $z\ne 0$) ni que $x+z=y+z\Rightarrow x=y.$ Enunciado Se consideran los conjuntos $X=\{a\},$ $Y=\{b,c\},$ $\mathbb{N}$ … Sigue leyendo
Publicado en Miscelánea matemática
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Convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos
Demostramos que la convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos implica la convergencia, y proporcionamos un contraejemplo que demuestra que el recíproco no es cierto. Enunciado Sea $f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que si $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado absoluta, convergencia, impropias, infinitos, integrales, intervalos
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Criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos
Enunciado Demostrar el criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos: Sea $f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que $$\int_a^{+\infty}f(x)\;dx \text{ es convergente}$$ $$\Leftrightarrow \forall \epsilon >0\;\exists b_0\text{ tal que } b’\ge b\ge b_0\Rightarrow \left|\int_b^{b’}f(x)\;dx\right|<\epsilon$$ Solución … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
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Criterios de convergencia de integrales impropias en intervalos infinitos
Estudiamos criterios de convergencia para las integrales impropias en intervalos infinitos. Enunciado Sea $f:[a,+\infty]\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b]$ y $a’\ge a.$ Demostrar que $$\int_{a}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}\Leftrightarrow \int_{a’}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}.$$ Sea $f\ge 0$ en $[a,+\infty)$ y continua a … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
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Concepto de integral impropia en intervalos infinitos
Definimos el concepto de integral impropia en intervalos infinitos, y damos ejemplos de cálculo. Enunciado Calcular: $$(a)\;\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x}.\quad (b)\;\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^3}.\quad (c)\;\displaystyle\int_0^{+\infty}\text{sen }x\;dx.$$ Calcular: $\;(a)\;\displaystyle\int_{-\infty}^{-1}\frac{dx}{x^2}.\quad (b)\;\displaystyle\int_{-\infty}^0\frac{dx}{4+x^2}.$ Calcular $\;(a)\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1}.\quad (b)\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+4x+9}.$ Calcular $\;I=\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$ con $p\in\mathbb{R}.$ Sean $f,g:[a,+\infty)$ continuas a trozos en todo intervalo $[a,b]$ y … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
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