Archivo de la etiqueta: $int_{0}^{+infty}frac{log (x^2+1)}{x^2+1}dx$

Enunciado Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx$. Sugerencia: considerar $\displaystyle\int_{\gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+1}dz$ siendo $\gamma$ la curva $ABCA$ de la figura Solución Sea $\Gamma$ la curva $ABC,$ es decir la semicircunferencia superior. Tenemos $$\int_{-R}^{R}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx+\int_{\Gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+1}dz=\int_{\gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+i}dz.\quad (1)$$ Podemos expresar $$\int_{-R}^{R}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx=\int_{-R}^{0}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx+\int_{0}^{R}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx$$ $$\underbrace{=}_{t=-x}\int_{R}^{0}\frac{\log … Sigue leyendo →