Archivo de la etiqueta: $int_{pi}^{+infty}frac{sin t}{tlog^2 t}dt=int_{pi}^{+infty}frac{cos t}{log t}dt$

Enunciado Demostrar la  igualdad entre las  integrales impropias $$I=\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{\sin t}{t\log^2 t}dt,\quad J=\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{\cos t}{\log t}dt.$$ Solución En $[\pi,+\infty)$, tenemos $$\left|\displaystyle\frac{\sin t}{t\log^2 t}\right|\leq{\displaystyle\frac{1}{t\log^2 t}}.$$ Efectuando el cambio $x=\log t:$ $$\int_{\pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{dt}{t\log^2 t}=\int_{\log \pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{dx}{x^2}\text{ (convergente)}$$ por tanto $I$ es absolutamente convergente y como consecuencia, … Sigue leyendo →