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Archivo de la etiqueta: integración
Suma de series enteras por derivación o integración
Proporcionamos ejemplos de cálculo de la suma de series enteras usando la derivación o integración término a término. Enunciado Valiéndose de la derivación o integración término a término y de la serie geométrica, hallar la suma de las series enteras: … Sigue leyendo
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Derivación e integración de series enteras
Enunciado Sea $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$ una serie entera con radio de convergencia $R.$ Demostrar que si $\rho\in [0,R),$ la serie converge uniformemente en el intervalo $[-\rho,\rho].$ Demostrar que toda serie entera y su serie derivada tienen el mismo radio de convergencia. Sea … Sigue leyendo
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Integración de funciones hiperbólicas
Enunciado Calcular $\displaystyle\int \cosh^2x\;dx.$ Calcular $\displaystyle\int \operatorname{senh}^3x\;dx.$ Calcular $\displaystyle\int \operatorname{senh}^3x\cosh x\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int \operatorname{senh}^2x\cosh^2 x\;dx.$ Calcular $\displaystyle\int\tanh^3 x\;dx.$ Solución Tenemos: $$\int \cosh^2x\;dx=\int \frac{1}{2}(1+\cosh 2x)\;dx=\frac{1}{2}\cosh x+\frac{1}{4}\cosh 2x+C.$$ Si $t=\cosh x,$ entonces $dt=\operatorname{senh}x\;dx,$ por tanto: $$\int \operatorname{senh}^3x\;dx=\int \operatorname{senh}^2x \operatorname{senh}x\;dx=\int (\cosh^2x-1)\operatorname{senh}x\;dx$$ $$=\int(t^2-1)\;dt=\frac{t^3}{3}-t+C=\frac{\cosh^3x}{3}-\cosh x+C.$$ … Sigue leyendo
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Etiquetado funciones, hiperbólicas, integración
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Integración de funciones trigonométricas (4)
Enunciado Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{5+4\operatorname{sen}x+3\cos x}.$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{1+\operatorname{sen}x+\cos x}.$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{3+5\cos x}.$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{1+\cos^2 x}.$ Demostrar que si $t=\tan \dfrac{x}{2},$ entonces: $$\operatorname{sen}x=\frac{2t}{1+t^2},\;\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\; dx=\frac{2\;dt}{1+t^2}.$$ Demostrar que si $t=\tan x,$ entonces: $$\operatorname{sen}x=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}},\;\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},\; dx=\frac{dt}{1+t^2}.$$ Solución Efectuando la sustitución $t=\tan \dfrac{x}{2}:$ $$I=\int\frac{\dfrac{2\;dt}{1+t^2}}{5+4\cdot\dfrac{2t}{1+t^2}+3\cdot \dfrac{1-t^2}{1+t^2}}=\int \frac{2\;dt}{5(1+t^2)+8t+3(1-t^2)}$$ … Sigue leyendo
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Etiquetado 4, funciones, integración, trigonométricas
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Integración de funciones trigonométricas (3)
Enunciado Calcular $\displaystyle\int \operatorname{sen}5x\cos 7x\;dx.$ Calcular $\displaystyle\int \operatorname{sen}13x\operatorname{sen}8x\;dx.$ Calcular $\displaystyle\int \cos (ax+b)\cos (ax-b)\;dx.$ Demostrar: $$\begin{aligned}& (a)\;\operatorname{sen}px\cos qx=\dfrac{1}{2}\left[\operatorname{sen}(p+q)x+\operatorname{sen}(p-q)x\right].\\ &(b)\;\operatorname{sen}px\operatorname{sen} qx=\dfrac{1}{2}\left[\cos(p-q)x-\cos (p+q)x\right].\\ &(c)\;\cos px\cos qx=\dfrac{1}{2}\left[\cos (p-q)x+\cos (p+q)x\right]. \end{aligned}$$ Solución Usando $\operatorname{sen}px\cos qx=\frac{1}{2}\left[\operatorname{sen}(p+q)x+\operatorname{sen}(p-q)x\right]:$ $$\int \operatorname{sen}5x\cos 7x\;dx=\frac{1}{2}\int \left(\operatorname{sen}12x+\operatorname{sen}(-2x)\right)\;dx$$ $$=\frac{1}{2}\int \operatorname{sen}12x\;dx-\frac{1}{2}\int \operatorname{sen}2x\;dx=-\frac{1}{24}\cos 12x+\dfrac{1}{4}\cos 2x+C.$$ Usando … Sigue leyendo
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Etiquetado 3, funciones, integración, trigonométricas
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