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Archivo de la etiqueta: integración
Integración de funciones trigonométricas (1)
Enunciado Calcular $I=\displaystyle\int \operatorname{sen}^5x\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int \operatorname{sen}^{10}x\;\cos^3x\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int \operatorname{sen}^{2}x\;\cos^2x\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int \operatorname{sen}^{4}x\;dx.$ Solución Efectuando la sustitución $t=\cos x,$ $dt=-\operatorname{sen} x\;dx$ y por tanto: $$I=\int \operatorname{sen}^4x\;\operatorname{sen}x\;dx=\int \left(1-\cos^2x\right)^2\operatorname{sen}x\;dx$$ $$=-\int \left(1-t^2\right)^2\;dt=-\int \left(1-2t^2+t^4\right)\;dt$$ $$=-t+\frac{2t^3}{3}-\frac{t^5}{5}+C=-\cos x+\frac{2\cos^3x}{3}-\frac{\cos^5x}{5}+C.$$ Efectuando la sustitución $t=\operatorname{sen}x,$ $dt=\cos x\;dx$ y por … Sigue leyendo
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Etiquetado (-1, funciones, integración, trigonométricas
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Integración de diferenciales binomias
Enunciado Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x}\left(\sqrt[4]{x}+1\right)^{10}}.$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{x^3dx}{(a^2-x^2)\sqrt{a^2-x^2}}.$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{x^4\sqrt{1+x^2}}.$ Solución Podemos expresar $I=\displaystyle\int x^{-1/2}\left(1+x^{1/4}\right)^{-10}dx.$ Se trata pues de una diferencial binomia con $p=-10,$ $m=-1/2$ y $n=1/4.$ Dado que $p$ es entero, estamos en el primer caso de integrabilidad. El mínimo común múltiplo … Sigue leyendo
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Etiquetado binomias, diferenciales, integración
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Integración de funciones irracionales (4)
Enunciado Calcular $I=\displaystyle\int \sqrt{x^2+2x+7}\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int \sqrt{x-x^2}\;dx.$ Demostrar que $$\int\sqrt{A+u^2}\;u’\;dx=\frac{u}{2}\sqrt{A+u^2}+\frac{A}{2}\log \lvert u+\sqrt{A+u^2}\rvert+C.$$ Demostrar que: $$\int\sqrt{A^2-u^2}\;u’\;dx=\frac{u}{2}\sqrt{A^2-u^2}+\frac{A^2}{2}\operatorname{arcsen}\frac{u}{A}+C\;\;(A\neq 0).$$ Solución Descomponiendo $x^2+2x+7=(x+k)^2+l,$ obtenemos $x^2+2x+7=(x+1)^2+6.$ Usando $$\int\sqrt{A+u^2}\;u’\;dx=\frac{u}{2}\sqrt{A+u^2}+\frac{A}{2}\log \lvert u+\sqrt{A+u^2}\rvert+C,$$ $$\begin{aligned}&I=\int \sqrt{6+(x+1)^2}\;dx\\ &=\frac{x+1}{2}\sqrt{x^2+2x+7}+3\log \lvert x+1+\sqrt{x^2+2x+7}\rvert+C.\end{aligned}$$ Descomponiendo $x-x^2=-(x+k)^2+l,$ obtenemos $x-x^2=\frac{1}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2.$ Usando $$\int\sqrt{A^2-u^2}\;u’\;dx=\frac{u}{2}\sqrt{A^2-u^2}+\frac{A^2}{2}\operatorname{arcsen}\frac{u}{A}+C,$$ $$\begin{aligned}&I=\int \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}\;dx\\ &=\frac{2x+1}{4}\sqrt{x-x^2}+\frac{1}{8}\operatorname{arcsen}(2x-1)+C.\end{aligned}$$ Para … Sigue leyendo
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Etiquetado 4, funciones, integración, irracionales
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Integración de funciones irracionales (3)
Enunciado Calcular $\displaystyle\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2-x+1}}dx.$ Calcular $\displaystyle\int \frac{x^3+2x^2+3x+4}{\sqrt{x^2+2x+2}}dx.$ Mediante un adecuado cambio de variable, transformar la integral $$I=\displaystyle\int \frac{dx}{x^5\sqrt{x^2-1}},$$ en otra en la que sea aplicable el método alemán. Solución Usemos el método alemán. Expresemos $$\displaystyle\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2-x+1}}dx=(Ax+B)\sqrt{x^2-x+1}+\lambda\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-x+1}}.$$ Derivando: $$\begin{aligned}&\frac{x^2}{\sqrt{x^2-x+1}}=A\sqrt{x^2-x+1}\\ &+(Ax+B)\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}+\frac{\lambda}{\sqrt{x^2-x+1}}. … Sigue leyendo
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Etiquetado 3, alemán, funciones, integración, irracionales, método
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Integración de funciones irracionales (2)
Enunciado Calcular las integrales: $$I_1=\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+6}},\quad I_2=\displaystyle\int\frac{x+3}{\sqrt{x^2+2x+6}}dx.$$ Calcular las integrales: $$I_1=\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1-2x-x^2}},\quad I_2=\displaystyle\int\frac{2x-3}{\sqrt{1-2x-x^2}}dx.$$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}}.$ Se consideran las integrales: $$I=\int\frac{dx}{(mx+n)\sqrt{ax^2+bx+c}},\quad J=\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{Ax^2+Bx+C}},$$ con $m\neq 0.$ Demostrar que la sustitución $t=\dfrac{1}{mx+n},$ transforma las integrales del tipo $I$ en integrales del tipo $J.$ Solución Podemos … Sigue leyendo
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Etiquetado 2, funciones, integración, irracionales
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