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Archivo de la etiqueta: integral
Integral compleja dependiente de dos parámetros
RESUMEN. Analizamos una integral compleja que depende de dos parámetros. Enunciado Sea la integral dependiente de los parámetros $n$ y $\lambda:$ $$I_n\left(R,\lambda \right)=\displaystyle\int _{\gamma _R}\left(\overline{z}\right)^ne^{\lambda z}dz$$ donde $n\in \mathbb{Z}$, $\lambda \in \mathbb{C}$ y $\gamma _R$ es la circunferencia $C\left(i\pi ,R\right),\:R>0$ … Sigue leyendo
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Etiquetado compleja, integral, parámetros
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Integral $\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos \theta+c\sin\theta}$
Enunciado Demostrar que para $a,b,c$ reales positivos con $a^2 > b^2 + c^2$ se verifica $$\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos \theta+c\sin\theta}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2-c^2}}.$$ Solución Efectuando el cambio $z=e^{i\theta}$ obtenemos $$dz=ie^{i\theta}d\theta=izd\theta,$$ $$\cos \theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}=\frac{z+1/z}{2}=\frac{z^2+1}{2z},$$ $$\sin \theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}=\frac{z-1/z}{2i}=\frac{z^2-1}{2iz}.$$ Cuando $\theta$ recorre $[0,2\pi],$ $z$ recorre la circunferencia $\left|z\right|=1$ en sentido antihorario, … Sigue leyendo
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Etiquetado $int_0^{2pi}frac{dtheta}{a+bcos theta+csintheta}$, integral
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Fórmula integral de Cauchy y matriz exponencial
Relacionamos la fórmula integral de Cauchy con la matriz exponencial. Enunciado La fórmula integral de Cauchy se puede generalizar a matrices de la siguiente manera $$f(M)=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\gamma}f(z)(zI-M)^{-1}\;dz,$$ donde $\gamma$ es la circunferencia $|z|=r,$ $I$ es la matriz identidad y todos … Sigue leyendo
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Etiquetado Cauchy, exponencial, fórmula, integral, matriz
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Igualdad integral $\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin t}{t\log^2 t}dt=\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\cos t}{\log t}dt$
Enunciado Demostrar la igualdad entre las integrales impropias $$I=\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{\sin t}{t\log^2 t}dt,\quad J=\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{\cos t}{\log t}dt.$$ Solución En $[\pi,+\infty)$, tenemos $$\left|\displaystyle\frac{\sin t}{t\log^2 t}\right|\leq{\displaystyle\frac{1}{t\log^2 t}}.$$ Efectuando el cambio $x=\log t:$ $$\int_{\pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{dt}{t\log^2 t}=\int_{\log \pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{dx}{x^2}\text{ (convergente)}$$ por tanto $I$ es absolutamente convergente y como consecuencia, … Sigue leyendo
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Etiquetado $int_{pi}^{+infty}frac{sin t}{tlog^2 t}dt=int_{pi}^{+infty}frac{cos t}{log t}dt$, Igualdad, integral
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Número combinatorio $\binom{2n}{n}$ e integral
Expresamos el número combinatorio $\binom{2n}{n}$ en términos de una integral definida. Enunciado Para todo entero positivo $n$, demostrar la relación $$\displaystyle\binom{2n}{n}=\frac{2^{2n}}{(2n+1)\int_0^1(1-x^2)^ndx}.$$ Solución Integrando por partes con $u=(1-x^2)^n$ y $dv=dx$ tenemos $$\int_0^1(1-x^2)^ndx =\left[ x(1-x^2)^n\right]_0^1+2n\int_0^1x^2(1-x^2)^{n-1}dx$$ $$=0-2n\int_0^1(1-x^2-1)(1-x^2)^{n-1}dx$$ $$=-2n\int_0^1(1-x^2)^ndx+2n\int_0^1(1-x^2)^{n-1}dx.$$Obtenemos por tanto la relación $$\int_0^1(1-x^2)^ndx=\frac{2n}{2n+1}\int_0^1(1-x^2)^{n-1}dx.$$ … Sigue leyendo
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Etiquetado $binom{2n}{n}$, combinatorio, integral, número
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