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Integral $\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos \theta+c\sin\theta}$

Enunciado Demostrar que para $a,b,c$ reales positivos con $a^2 > b^2 + c^2$ se verifica $$\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos \theta+c\sin\theta}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2-c^2}}.$$ Solución Efectuando el cambio $z=e^{i\theta}$ obtenemos $$dz=ie^{i\theta}d\theta=izd\theta,$$ $$\cos \theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}=\frac{z+1/z}{2}=\frac{z^2+1}{2z},$$ $$\sin \theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}=\frac{z-1/z}{2i}=\frac{z^2-1}{2iz}.$$ Cuando $\theta$ recorre $[0,2\pi],$ $z$ recorre la circunferencia $\left|z\right|=1$ en sentido antihorario, … Sigue leyendo

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Fórmula integral de Cauchy y matriz exponencial

Relacionamos la fórmula integral de Cauchy con la matriz exponencial. Enunciado La fórmula integral de Cauchy se puede generalizar a matrices de la siguiente manera $$f(M)=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\gamma}f(z)(zI-M)^{-1}\;dz,$$ donde $\gamma$ es la circunferencia $|z|=r,$ $I$ es la matriz identidad y todos … Sigue leyendo

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