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Integral triple $\iiint_Tx^my^nz^p(1-x-y-z)^qdxdydz$

Enunciado Calcular la integral triple $$I=\iiint_Tx^my^nz^p(1-x-y-z)^qdxdydz$$ siendo $T$ el recinto limitado por los tres planos coordenados y el plano $x+y+z=1,$ y $m,$ $n,$ $p,$ $q$ enteros positivos. Solución Podemos expresar $I$ como las integrales reiteradas $$I=\int_0^1x^mdx\int_0^{1-x}y^ndy\int_0^{1-x-y}z^p(1-x-y-z)^qdz.$$ Denotando $a=1-x-y,$ la tercera … Sigue leyendo

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Integral $\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx$ por residuos

Enunciado Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx$. Sugerencia: considerar $\displaystyle\int_{\gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+1}dz$ siendo $\gamma$ la curva $ABCA$ de la figura Solución Sea $\Gamma$ la curva $ABC,$ es decir la semicircunferencia superior. Tenemos $$\int_{-R}^{R}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx+\int_{\Gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+1}dz=\int_{\gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+i}dz.\quad (1)$$ Podemos expresar $$\int_{-R}^{R}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx=\int_{-R}^{0}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx+\int_{0}^{R}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx$$ $$\underbrace{=}_{t=-x}\int_{R}^{0}\frac{\log … Sigue leyendo

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