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Archivo de la etiqueta: integrales
Tres integrales a partir de la de Dirichlet
Calculamos tres integrales a partir de la de Dirichlet $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}.$ Enunciado Calcular $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{1-\cos x}{x^2}dx.$ Calcular $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2}dx.$ Calcular $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin^4x}{x^2}dx.$ Solución Integramos por partes con $u=1-\cos x$ y $dv=1/x^2$ con lo cual, … Sigue leyendo
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Etiquetado Dirichlet, integrales
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Derivación de integrales dependientes de un parámetro
Demostramos los teoremas de derivación de integrales dependientes de un parámetro (tanto con límites de integración constantes como variables) y proporcionamos ejemplos de aplicación. Definición. Sean $[a,b]$ y $[\alpha,\beta]$ dos intervalos reales y $$f:[a,b]\times [\alpha,\beta]\to \mathbb{R},\quad (x,\lambda) \to f(x,\lambda)$$ una … Sigue leyendo
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Etiquetado dependientes, derivación, integrales, parámetro
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Integrales impropias en intervalos finitos
Proporcionamos ejemplos de cálculo y estudio de la convergencia de integrales impropias en intervalos finitos. Enunciado Calcular $\;(a)\;\displaystyle\int _0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}.\quad (b)\;\int _{-1}^2\frac{dx}{x}.$ Calcular $\;I=\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^p}$ con $p\in\mathbb{R}.$ Calcular $\displaystyle\int_0^{3}\frac{dx}{(x-1)^2}.$ Calcular $\displaystyle\int_0^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$ Calcular $\displaystyle\int_0^{1/2}\frac{dx}{x\log x}.$ Estudiar la convergencia de la integral $\displaystyle\int_1^{2}\frac{dx}{\log x}.$ … Sigue leyendo
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Etiquetado finitos, impropias, integrales, intervalos
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Convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos
Demostramos que la convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos implica la convergencia, y proporcionamos un contraejemplo que demuestra que el recíproco no es cierto. Enunciado Sea $f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que si $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ … Sigue leyendo
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Etiquetado absoluta, convergencia, impropias, infinitos, integrales, intervalos
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Convergencia de las integrales de Fresnel
Demostramos la convergencia de las integrales de Fresnel. Enunciado Demostrar que las integrales de Fresnel $$\int_0^{+\infty}\cos x^2\;dx,\quad \int_0^{+\infty}\text{sen } x^2\;dx,$$ son convergentes. Solución Haremos la demostración para $\int_0^{+\infty}\cos x^2\;dx,$ el razonamiento es análogo para la otra integral. Efectuando el cambio … Sigue leyendo
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Etiquetado convergencia, Fresnel, integrales
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