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Criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos

Enunciado Demostrar el criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos: Sea $f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que $$\int_a^{+\infty}f(x)\;dx \text{ es convergente}$$ $$\Leftrightarrow \forall \epsilon >0\;\exists b_0\text{ tal que } b’\ge b\ge b_0\Rightarrow \left|\int_b^{b’}f(x)\;dx\right|<\epsilon$$ Solución … Sigue leyendo

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Criterios de convergencia de integrales impropias en intervalos infinitos

Estudiamos criterios de convergencia para las integrales impropias en intervalos infinitos. Enunciado Sea $f:[a,+\infty]\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b]$ y $a’\ge a.$ Demostrar que $$\int_{a}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}\Leftrightarrow \int_{a’}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}.$$ Sea $f\ge 0$ en $[a,+\infty)$ y continua a … Sigue leyendo

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Fórmulas integrales de Cauchy

Enunciado Calcular $(a)\;\displaystyle\int_{\left|z\right|=3}\frac{e^z}{z-2}dz.\quad (b)\;\displaystyle\int_{\left|z\right|=1}\frac{e^z}{z-2}dz.$ Calcular $(a)\;\displaystyle\int_{\left|z\right|=1}\frac{\operatorname{sen}^6z}{z-\pi/6}dz.\quad (b)\;\displaystyle\int_{\left|z\right|=2}\frac{e^{iz}}{z^3}dz.$ Calcular $\displaystyle\int_{C}\frac{e^{2z}}{z+\pi i}dz,$ si $C$ es $(a)\;$ La circunferencia $\left|z-1\right|=4.$ $(b)\;$ La elipse $\left|z-2\right|+\left|z+2\right|=6.$ Solución $(a)$ La función $f(z)=e^z$ es analítica en $\mathbb{C},$ por tanto en $\mathcal{R}\equiv\left|z\right|\leq 3$ y $2$ es interior a … Sigue leyendo

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Cálculo de límites de sucesiones mediante integrales

Enunciado Calcular $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n^2}+\cdots+\frac{n-1}{n^2}\right).$ Calcular $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right).$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1^p+2^p+3^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}}\quad (p>0).$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{n^2}.$ Relacionar el límite $$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{n+n}\right)$$ con la integral $\displaystyle\int_1^2\dfrac{1}{x}\;dx$. Calcular el límite anterior. Solución Llamemos $L$ al límite pedido. Entonces,$$\begin{aligned}L&=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+\cdots+\frac{n-1}{n}\right)\\ &=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{k}{n}=\int_0^1x\;dx=\frac{1}{2}.\end{aligned}$$ Llamemos $L$ al … Sigue leyendo

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Integrales indefinidas: problemas diversos

Proporcionamos problemas diversos sobre integración indefinida. Enunciado Calcular: $ a)\;\displaystyle\int \left(e^{ax}+e^{-ax}\right)^2dx,\;(a\neq 0).$ $b)\;\displaystyle\int 2^x\;3^{2x}\;5^{3x}\;dx.$ $c)\;\displaystyle\int \left(\tan x+\cot x\right)^2dx.$ Usando integración por partes, calcular $I=\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}dx,\;(a\neq 0).$ Usando integración por partes, calcular $I=\displaystyle\int\sqrt{A+x^2}dx.$ Nota. Se puede usar la igualdad $\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{A+x^2}}=\log \left|x+\sqrt{A+x^2}\right|.$ Calcular … Sigue leyendo

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