Archivo de la etiqueta: integrales

Integrales por sustitución o cambio de variable

Proponemos ejercicios sobre integrales por sustitución o cambio de variable. Enunciado Calcular las siguientes integrales, efectuando el cambio de variable indicado: $ a)\displaystyle\int x(4x^2+7)^9dx,\; t=5x^2+7.\quad b)\displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{x+1}}dx,\;t=\sqrt{x+1}.$ Efectuando sustituciones o cambios de variable adecuados, hallar las integrales: $ a)\displaystyle\int x^3\sqrt[3]{x^4+1}\;dx.\quad … Sigue leyendo

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Integrales inmediatas

Proporcionamos ejercicios sobre integrales inmediatas. Enunciado Calcular las integrales inmediatas $ a)\displaystyle\int \dfrac{2x}{3x^2+1}dx.\quad b)\displaystyle\int \dfrac{3x}{\sqrt{2x^2+1}}dx.\quad c)\displaystyle\int x\operatorname{sen}x^2\;dx.$ Calcular las integrales: $ a)\displaystyle\int \dfrac{dx}{6+5x^2}dx.\quad b)\displaystyle\int x^25^{x^3}dx.\quad c)\displaystyle\int e^{3\cos x}\operatorname{sen}x\;dx.$ Calcular: $ a)\displaystyle\int \operatorname{sen}^2x\;dx.\quad b)\displaystyle\int \cos^2x\;dx.\quad c)\displaystyle\int (\operatorname{sen}x+\cos x)^2\;dx.$ Calcular: $ a)\displaystyle\int … Sigue leyendo

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Relación entre dos integrales por residuos

Enunciado Para cada entero positivo $n$ se considera la función racional $f_n(z)=\dfrac{(1+z^2)^{n-1}}{1+z^{2n}}.$ 1. Calcular los residuos de $f_n$ en sus puntos singulares. 2. Empleando la fórmula de los residuos de Cauchy, deducir el valor de las integrales $I_n=\displaystyle\int_0^{+\infty}f_n(x)\;dx.$ 3. Aplicar … Sigue leyendo

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Integrales de Fresnel

Enunciado Se sabe que las integrales de Fresnel: $$ I_1=\displaystyle\int_0^{+\infty}\cos x^2\;dx,\quad I_2=\displaystyle\int_0^{+\infty}\operatorname{sen} x^2\;dx,$$ son convergentes. Calcular su valor. Indicación: usar la integral de Euler, es decir $ \displaystyle\int_0^{+\infty}e^ {-x^2}\;dx=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2} .$ Solución Consideremos la función $ f(z)=e^{iz^2} $ y el contorno … Sigue leyendo

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