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Archivo de la etiqueta: inversas
Imágenes inversas de conjuntos compactos
Analizamos dos casos de compacidad de las imágenes inversas de conjuntos compactos. Enunciado Sean $X$ e $Y$ espacios topológicos y $f:X\to Y$ continua. Demostrar que si $X$ es compacto e $Y$ es de Hausdorff entonces, las imágenes inversas de conjuntos … Sigue leyendo
Publicado en Miscelánea matemática
Etiquetado compactos, conjuntos, imágenes, inversas
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Derivación de funciones hiperbólicas inversas
Proporcionamos ejercicios sobre derivación de funciones hiperbólicas inversas. Enunciado Calcular $f'(x),$ siendo $f(x)=\operatorname{arth}x-\arctan x.$ Calcular $y’,$ siendo $y=\dfrac{\operatorname{arch}x}{x}.$ Calcular $\dfrac{d}{dx}\left(\operatorname{arsen}x\;\operatorname{arsh}x\right).$ Solución $\quad f'(x)=\dfrac{1}{1-x^2}-\dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{1+x^2-1+x^2}{(1-x^2)(1+x^2)}=\dfrac{2x^2}{(1-x^2)(1+x^2)}.$ $\quad y’=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}x-\operatorname{arch}x}{x^2}=\dfrac{x-\sqrt{x^2-1}\operatorname{arch}x}{x^2\sqrt{x^2-1}}.$ $\quad \dfrac{d}{dx}\left(\operatorname{arsen}x\;\operatorname{arsh}x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\operatorname{arsh}x+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\operatorname{arsen}x.$
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado derivación, funciones, hiperbólicas, inversas
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Derivación de funciones trigonométricas y circulares inversas
Proporcionamos ejercicios sobre derivación de funciones trigonométricas y circulares inversas. Enunciado Hallar $y’$ siendo: $(a)\; y=a\cos x+b\operatorname{sen} x.\quad$ $(b)\; y=\dfrac{\operatorname{sen} x+\cos x}{\operatorname{sen} x-\cos x}.\quad$ $(c)\; y=x\tan x.$ Hallar: $(a)\; \dfrac{d}{dx}(x\operatorname{arcsen} x).\; (b)\;\dfrac{d}{dx}(\cot x-\tan x).\; (c)\;\dfrac{d}{dt}\left((t^2-2)\cos t-2t \operatorname{sen} t\right).$ Demostrar que: … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado circulares, derivación, funciones, inversas, trigonométricas
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Imágenes directas e inversas de conjuntos
Proporcionamos ejercicos sobre imágenes directas e inversas de conjuntos asociados a una aplicación. Enunciado Consideremos $X=\{1,2,3,4\},$ $Y=\{a,b,c\}$, la aplicación $f:X\to Y$ dada por $$f(1)=a,\;f(2)=a,\;f(3)=c,\;f(4)=c,$$ y los conjuntos $A=\{1,3\}$ y $B=\{a,b\}$. Determinar $f(A)$ y $f^{-1}(B).$ Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^2$. … Sigue leyendo
