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Enunciado Calcular $I=\displaystyle\int \sqrt{x^2+2x+7}\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int \sqrt{x-x^2}\;dx.$ Demostrar que $$\int\sqrt{A+u^2}\;u’\;dx=\frac{u}{2}\sqrt{A+u^2}+\frac{A}{2}\log \lvert u+\sqrt{A+u^2}\rvert+C.$$ Demostrar que: $$\int\sqrt{A^2-u^2}\;u’\;dx=\frac{u}{2}\sqrt{A^2-u^2}+\frac{A^2}{2}\operatorname{arcsen}\frac{u}{A}+C\;\;(A\neq 0).$$ Solución Descomponiendo $x^2+2x+7=(x+k)^2+l,$ obtenemos $x^2+2x+7=(x+1)^2+6.$ Usando $$\int\sqrt{A+u^2}\;u’\;dx=\frac{u}{2}\sqrt{A+u^2}+\frac{A}{2}\log \lvert u+\sqrt{A+u^2}\rvert+C,$$ $$\begin{aligned}&I=\int \sqrt{6+(x+1)^2}\;dx\\ &=\frac{x+1}{2}\sqrt{x^2+2x+7}+3\log \lvert x+1+\sqrt{x^2+2x+7}\rvert+C.\end{aligned}$$ Descomponiendo $x-x^2=-(x+k)^2+l,$ obtenemos $x-x^2=\frac{1}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2.$ Usando $$\int\sqrt{A^2-u^2}\;u’\;dx=\frac{u}{2}\sqrt{A^2-u^2}+\frac{A^2}{2}\operatorname{arcsen}\frac{u}{A}+C,$$ $$\begin{aligned}&I=\int \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}\;dx\\ &=\frac{2x+1}{4}\sqrt{x-x^2}+\frac{1}{8}\operatorname{arcsen}(2x-1)+C.\end{aligned}$$ Para … Sigue leyendo →

Enunciado Calcular las integrales: $$I_1=\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+6}},\quad I_2=\displaystyle\int\frac{x+3}{\sqrt{x^2+2x+6}}dx.$$ Calcular las integrales: $$I_1=\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1-2x-x^2}},\quad I_2=\displaystyle\int\frac{2x-3}{\sqrt{1-2x-x^2}}dx.$$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}}.$ Se consideran las integrales: $$I=\int\frac{dx}{(mx+n)\sqrt{ax^2+bx+c}},\quad J=\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{Ax^2+Bx+C}},$$ con $m\neq 0.$ Demostrar que la sustitución $t=\dfrac{1}{mx+n},$ transforma las integrales del tipo $I$ en integrales del tipo $J.$ Solución Podemos … Sigue leyendo →

Enunciado Calcular $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{3x+1}-\sqrt[4]{3x+1}}.$ Calcular $\displaystyle\int\frac{x^3\;dx}{\sqrt{x+2}}.$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{(2x-5)^{2/3}-(2x-5)^{1/2}}.$ Solución Si $t^4=3x+1,$ entonces $4t^3dt=3\;dx,$ por tanto: $$\begin{aligned}& \displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{3x+1}-\sqrt[4]{3x+1}}=\frac{4}{3}\int\frac{t^3\;dt}{t^2-t}=\frac{4}{3}\int\frac{t^2\;dt}{t-1}\\&=\frac{4}{3}\int\left(t+1+\frac{1}{t-1}\right)dt=\frac{4}{3}\left(\frac{t^2}{2}+t+\log \lvert t-1\rvert\right)+C\\&=\frac{2}{3}\sqrt{3x+1}+\frac{4}{3}\sqrt[4]{3x+1}+\lvert \sqrt[4]{3x+1}-1\rvert+C. \end{aligned}$$ Si $t^2=x+2,$ entonces $2t\;dt=dx,$ por tanto: $$\begin{aligned}&\int\frac{x^3\;dx}{\sqrt{x+2}}=2\int\frac{(t^2-2)^3t\;dt}{t}=2\int (t^2-2)^3\;dt=\\ &=2\int (t^6-6t^4+12t^2-8)\;dt=2\left(\frac{t^7}{7}-\frac{6t^5}{5}+4t^3-8t\right)+C. \end{aligned}$$ Sustituyendo $t=\sqrt{x+2}$ y simplificando: $$\int\frac{x^3\;dx}{\sqrt{x+2}}=\frac{2\sqrt{x+2}}{35}\left(5(x+2)^3-42(x+2)^2+140(x+2)-280\right)+C.$$ Si $t^6=2x-5,$ entonces $6t^5\;dt=2\;dx,$ … Sigue leyendo →