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Integración de funciones irracionales (4)

Enunciado Calcular $I=\displaystyle\int \sqrt{x^2+2x+7}\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int \sqrt{x-x^2}\;dx.$ Demostrar que $$\int\sqrt{A+u^2}\;u’\;dx=\frac{u}{2}\sqrt{A+u^2}+\frac{A}{2}\log \lvert u+\sqrt{A+u^2}\rvert+C.$$ Demostrar que: $$\int\sqrt{A^2-u^2}\;u’\;dx=\frac{u}{2}\sqrt{A^2-u^2}+\frac{A^2}{2}\operatorname{arcsen}\frac{u}{A}+C\;\;(A\neq 0).$$ Solución Descomponiendo $x^2+2x+7=(x+k)^2+l,$ obtenemos $x^2+2x+7=(x+1)^2+6.$ Usando $$\int\sqrt{A+u^2}\;u’\;dx=\frac{u}{2}\sqrt{A+u^2}+\frac{A}{2}\log \lvert u+\sqrt{A+u^2}\rvert+C,$$ $$\begin{aligned}&I=\int \sqrt{6+(x+1)^2}\;dx\\ &=\frac{x+1}{2}\sqrt{x^2+2x+7}+3\log \lvert x+1+\sqrt{x^2+2x+7}\rvert+C.\end{aligned}$$ Descomponiendo $x-x^2=-(x+k)^2+l,$ obtenemos $x-x^2=\frac{1}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2.$ Usando $$\int\sqrt{A^2-u^2}\;u’\;dx=\frac{u}{2}\sqrt{A^2-u^2}+\frac{A^2}{2}\operatorname{arcsen}\frac{u}{A}+C,$$ $$\begin{aligned}&I=\int \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}\;dx\\ &=\frac{2x+1}{4}\sqrt{x-x^2}+\frac{1}{8}\operatorname{arcsen}(2x-1)+C.\end{aligned}$$ Para … Sigue leyendo

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Integración de funciones irracionales (3)

Enunciado Calcular $\displaystyle\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2-x+1}}dx.$ Calcular $\displaystyle\int \frac{x^3+2x^2+3x+4}{\sqrt{x^2+2x+2}}dx.$ Mediante un adecuado cambio de variable, transformar la integral $$I=\displaystyle\int \frac{dx}{x^5\sqrt{x^2-1}},$$ en otra en la que sea aplicable el método alemán. Solución Usemos el método alemán. Expresemos $$\displaystyle\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2-x+1}}dx=(Ax+B)\sqrt{x^2-x+1}+\lambda\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-x+1}}.$$ Derivando: $$\begin{aligned}&\frac{x^2}{\sqrt{x^2-x+1}}=A\sqrt{x^2-x+1}\\ &+(Ax+B)\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}+\frac{\lambda}{\sqrt{x^2-x+1}}. … Sigue leyendo

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