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Ejercicios de isometrías en el plano

RESUMEN. Proporcionamos ejercicios sobre isometrías en el plano. Enunciados. Clasificar la isometría $x^\prime=\dfrac{2}{\sqrt{5}}x+\dfrac{1}{\sqrt{5}}y,\;\;y^\prime=\dfrac{1}{\sqrt{5}}x-\dfrac{2}{\sqrt{5}}y.$ Clasificar la isometría dada por $$\begin{aligned} & x^\prime=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x-\dfrac{1}{2}y+2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ &y^\prime=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}y+\dfrac{3}{2}-\sqrt{3}.\end{aligned}$$ Determinar la ecuación matricial de la simetría respecto de la recta $r:y=mx+b$. Clasificar la isometría: $$\begin{bmatrix}{x^\prime}\\{y^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{\;\;0}\\{0}&{-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x}\\{y}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{1}\\{0}\end{bmatrix}.$$ Usar el … Sigue leyendo

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Expresión matricial de las isometrías del plano

RESUMEN. Vamos a trasladar las propiedades de las isometrías, al lenguaje matricial sin salirnos del cuerpo base $\mathbb{R}$. Sabido es que las matrices ortogonales de $\mathbb{R}^{2\times 2}$ son aquellas matrices $A$ que satisfacen $A^T=A^{-1}$ o equivalentemente las que satisfacen $A^TA=I$. … Sigue leyendo

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Grupo de las isometrías del plano

RESUMEN. Demostramos que las isometrías tienen estructura de grupo con la operación composición. Teorema. Toda isometría $h$ del plano es función biyectiva y su inversa $h^{-1}$ también es una isometría. Demostración. Si $h(z)=\alpha z+\beta$ con $\left|\alpha\right|=1$ entonces, $$h(z_1)=h(z_2)\Rightarrow \alpha z_1+\beta=\alpha … Sigue leyendo

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Determinación de las isometrías del plano

RESUMEN. Vamos a demostrar que todas las isometrías del plano son exactamente las aplicaciones de la forma $h(z)=\alpha z+\beta$ o bien de la forma. $h(z)=\alpha \bar{z}+\beta$ con $\alpha,\beta$ complejos y $\left|\alpha\right|=1$. Teorema. Sean $\alpha,\beta \in\mathbb{C}$ con $\left|\alpha\right|=1$. Entonces, son isometrías … Sigue leyendo

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Isometrías en $\mathbb{R}^n$

Demostramos que todas las isometrías de $\mathbb{R}^n$ son exactamente las aplicaciones de la forma $ f(x)=Ax+b$ con $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ ortogonal y $b\in\mathbb{R}^n$ fijo. Enunciado Los elementos de $\mathbb{R}^n$ los escribimos en columna y a sus componentes las designamos por la … Sigue leyendo

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Isometrías en el plano

Describimos todas las isometrías del plano usando operaciones algebraicas con números complejos y posteriormente trasladamos sus propiedades al lenguaje matricial sin salirnos del cuerpo base $\mathbb{R}$. Menú Concepto de isometría en el plano Determinación de las isometrías del plano Grupo … Sigue leyendo

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