Archivo de la etiqueta: Laplace

Transformadas de Laplace: problemas diversos

Proponemos problemas diversos sobre la transformada de Laplace. Enunciado Sea  $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ una función continua a trozos en todo intervalo y de orden exponencial. Supongamos que $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).$ Demostrar que $$\mathcal{L}\{f(at)\}=\dfrac{1}{a}F\left(\dfrac{s}{a}\right),\;a>0.$$ A esta propiedad se la llama propiedad del cambio de escala. … Sigue leyendo

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Resolución de ecuaciones y sistemas mediante transformadas de Laplace

Exponemos el método para la resolución de ecuaciones y sistemas lineales mediante transformadas de Laplace. Enunciado Resolver la ecuación  $x^{\prime}-2x=e^{5t},\quad x(0)=3.$ Resolver la ecuación $$x^{\prime\prime}-5x’+4x=4,\quad x(0)=0,\quad x'(0)=2.$$ Resolver la ecuación $$x^{\prime\prime\prime}+x’=e^t,\quad x(0)=x'(0)=x^{\prime\prime}(0)=0.$$ Resolver el problema de valor inicial $$\left \{ … Sigue leyendo

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Transformada inversa de Laplace

Proporcionamos ejercicios sobre la transformada inversa de Laplace. Enunciado Calcular $\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 9} \right\} .$ Demostrar la propiedad de linealidad para la trasformada inversa de Laplace. Hallar la transformada inversa de Laplace de $F(s)=\dfrac{1}{s^2+4s+9}.$ Calcular $\displaystyle … Sigue leyendo

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Derivadas de las transformadas de Laplace

Proporcionamos la manera de hallar las derivadas de las transformadas de Laplace. Enunciado 1.  Sea $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ una función continua a trozos en todo intervalo $[0,b]$ y de orden exponencial $e^{\alpha t}$. Demostrar que si $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$ para $s>\alpha,$ se verifica $$\mathcal{L}\{t^nf(t)\}=(-1)^n\frac{d^n}{ds^n}F(s)\text{ … Sigue leyendo

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Propiedades de traslación de las transformadas de Laplace

Demostramos y damos ejemplos de aplicación de las propiedades de traslación de las transformadas de Laplace. Enunciado Demostrar la primera propiedad de traslación de las transformadas de Laplace: Supongamos que $f$ es una función tal que existe $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$ para $s>\alpha.$ … Sigue leyendo

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Transformada de Laplace de las derivadas

Proporcionamos la manera de hallar la transformada de Laplace de las derivadas de una función. Enunciado Sea $f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ una función continua y de orden exponencial $e^{\alpha t}.$ Sea $f’$ continua a trozos en todo intervalo $[0,b].$ Demostrar que existe $\mathcal{L}\{f'(t)\}$ … Sigue leyendo

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Tabla de transformadas de Laplace

Proporcionamos una tabla de transformadas de Laplace de algunas funciones. $1.\quad \; f(t)=1 \Rightarrow F(s)= \dfrac{1}{s}.$ $2.\quad \; f(t)=e^{at} \Rightarrow F(s)= \dfrac{1}{s-a}.$ $3.\quad \; f(t)=\operatorname{sen}bt \Rightarrow F(s)= \dfrac{b}{s^2+b^2}.$ $4.\quad\;  f(t)=\cos bt \Rightarrow F(s)= \dfrac{s}{s^2+b^2}.$ $5.\quad \; f(t)=\operatorname{senh}bt \Rightarrow F(s)= \dfrac{b}{s^2-b^2}.$ … Sigue leyendo

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Existencia y linealidad de la transformada de Laplace

Estudiamos la existencia de la transformada de Laplace y demostramos su linealidad. Enunciado Demostrar el teorema de existencia de la transformada de Laplace: Sea  $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ una función continua a trozos en todo intervalo $[0,b]$ con $b>0,$ y de orden exponencial, … Sigue leyendo

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Concepto de transformada de Laplace

Definimos la transformada de Laplace y proporcionamos ejemplos de aplicación. Enunciado Sea $ f :(0.+\infty)\to \mathbb{R}$ una función. Se llama transformada de Laplace de la función $f$ y se representa por $ \mathcal{L}\{f(t)\}$ o por $ \mathcal{L}\{f\}$ a $$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_0^{+\infty}e^{-st}f(t)\;dt,$$ para … Sigue leyendo

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