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Límite de la suma finita $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{bk}{n}}}{n}$

RESUMEN. Hallamos el límite de una suma finita por cálculo directo y por sumas de Riemann. Enunciado. $1)$ Calcular la suma finita $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{k}{n}}}{n}\;\; (b\in\mathbb{R})$. $2)$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{k}{n}}}{n}.$ $3)$ Calcular el límite anterior por sumas de Riemann. Solución. $1)$ … Sigue leyendo

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Límite de una sucesión por potencia enésima de una matriz

Calculamos el límite de una sucesión numérica usando la potencia enésima de una matriz. Enunciado Dada la sucesión $x_n$ tal que $x_1=1,x_2=2$ y $x_{n+2}=\dfrac{1}{2}\left(x_n+x_{n+1}\right)$ probar que $\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{x_n}=\frac{5}{3}.$ Enunciado Podemos escribir $$\underbrace{\begin{bmatrix}{x_{n+2}}\\{x_{n+1}}\end{bmatrix}}_{X_{n+2}}=\underbrace{\begin{bmatrix}{1/2}&{1/2}\\{1}&{0}\end{bmatrix}}_{A}\underbrace{\begin{bmatrix}{x_{n+1}}\\{x_{n}}\end{bmatrix}}_{X_{n+1.}}$$ Por tanto, $X_{n+2}=AX_{n+1}=A^2X_{n}=\ldots =A^nX_2=A^n\begin{bmatrix}{2}\\{1}\end{bmatrix}.$ Es decir, $$\lim_{n \to{+}\infty}\begin{bmatrix}{x_{n+2}}\\{x_{n+1}}\end{bmatrix}=\lim_{n … Sigue leyendo

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