Archivo de la etiqueta: límite

Límite por cambio de variable

Publicada el octubre 27, 2022 por Fernando Revilla

RESUMEN. Calculamos un límite efectuando un cambio de variable, previo a la aplicación de la regla de L’Hopital. Enunciado Calcular el límite $L=\displaystyle\lim_{x \to\infty}\left(\displaystyle\frac{x}{\sin\frac{1}{x}} – x^2\right).$ Solución Efectuando el cambio de variable $t=1/x$ queda $$L=\lim_{t \to 0}\left(\displaystyle\frac{\dfrac{1}{t}}{\sin t} – \frac{1}{t^2}\right)=\lim_{t\to … Sigue leyendo →

Publicado en Análisis real y complejo | Etiquetado , , | Comentarios desactivados en Límite por cambio de variable

$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}.$

Publicada el abril 3, 2022 por Fernando Revilla

RESUMEN. Calculamos un límite por sumas de Riemann. Enunciado Calcular $L=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}.$ Solución Denotemos $A(n)={\dfrac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots (n+n)}}.$ Entonces, $$A(n)=\displaystyle\sqrt[n]{\frac{(n+1)(n+2)\cdots (n+n)}{n^n}}=\sqrt[ n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1+\frac{n}{n}\right)}.$$ Tomando logaritmos, $$\log A(n)=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n{\log \left(1+\frac{k}{n}\right)}$$ y usando la conocida fórmula de las sumas de Riemann $$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1f(x)\;dx$$ obtenemos $$\lim_{n\to … Sigue leyendo →

Publicado en Análisis real y complejo | Etiquetado , , | Comentarios desactivados en $\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}.$

Límite de la suma finita $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{bk}{n}}}{n}$

Publicada el marzo 23, 2021 por Fernando Revilla

RESUMEN. Hallamos el límite de una suma finita por cálculo directo y por sumas de Riemann. Enunciado. $1)$ Calcular la suma finita $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{k}{n}}}{n}\;\; (b\in\mathbb{R})$. $2)$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{k}{n}}}{n}.$ $3)$ Calcular el límite anterior por sumas de Riemann. Solución. $1)$ … Sigue leyendo →

Publicado en Análisis real y complejo | Etiquetado , , | Comentarios desactivados en Límite de la suma finita $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{bk}{n}}}{n}$

Límite de una sucesión por potencia enésima de una matriz

Publicada el octubre 19, 2020 por Fernando Revilla

Calculamos el límite de una sucesión numérica usando la potencia enésima de una matriz. Enunciado Dada la sucesión $x_n$ tal que $x_1=1,x_2=2$ y $x_{n+2}=\dfrac{1}{2}\left(x_n+x_{n+1}\right)$ probar que $\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{x_n}=\frac{5}{3}.$ Enunciado Podemos escribir $$\underbrace{\begin{bmatrix}{x_{n+2}}\\{x_{n+1}}\end{bmatrix}}_{X_{n+2}}=\underbrace{\begin{bmatrix}{1/2}&{1/2}\\{1}&{0}\end{bmatrix}}_{A}\underbrace{\begin{bmatrix}{x_{n+1}}\\{x_{n}}\end{bmatrix}}_{X_{n+1.}}$$ Por tanto, $X_{n+2}=AX_{n+1}=A^2X_{n}=\ldots =A^nX_2=A^n\begin{bmatrix}{2}\\{1}\end{bmatrix}.$ Es decir, $$\lim_{n \to{+}\infty}\begin{bmatrix}{x_{n+2}}\\{x_{n+1}}\end{bmatrix}=\lim_{n … Sigue leyendo →

Publicado en Álgebra | Etiquetado , , , , | Comentarios desactivados en Límite de una sucesión por potencia enésima de una matriz

Límite de una sucesión de conjuntos

Publicada el noviembre 1, 2017 por Fernando Revilla

Definimos el concepto de límite de una sucesión de conjuntos y estudiamos algunas de sus propiedades. Enunciado Sea $A_1,A_2,A_3,\ldots$ una sucesión de conjuntos contenidos en un conjunto universal $U$. Se definen: $$\liminf A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty} A_k,\quad \limsup A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} … Sigue leyendo →

Publicado en Álgebra | Etiquetado , , | Comentarios desactivados en Límite de una sucesión de conjuntos